Idéal et nombre algébrique
Bonsoir
Un nombre complexe $x$ est appelé nombre algébrique s'il existe $P \in \Q[X]$ non nul tel que $P(x)=0$
Soit $\alpha$ un nombre algébrique.
On pose $I(\alpha)=\{ P \in \Q[X] \ | \ P(\alpha)=0 \}$
1) Montrer que $I(\alpha)$ est un idéal de $\Q[X]$ différent de $\{0 \}$
2) Montrer qu'il existe donc un unique polynôme unitaire $\Pi_{\alpha} \in \Q[X]$ appelé polynôme minimal de $\alpha$ tel que $I(\alpha)= \{ \Pi_{\alpha} Q | \ Q \in \Q[X] \}$. On appelle degré de $\alpha$ le degré du polynôme $\Pi_{\alpha}$.
1) Comme $\alpha$ est algébrique, il existe $P$ non nul dans $\Q[X]$ tel que $P(\alpha)=0$ donc $I(\alpha)$ n'est pas réduit à $\{0 \}$.
2) Je n'ai pas réussi.
Un nombre complexe $x$ est appelé nombre algébrique s'il existe $P \in \Q[X]$ non nul tel que $P(x)=0$
Soit $\alpha$ un nombre algébrique.
On pose $I(\alpha)=\{ P \in \Q[X] \ | \ P(\alpha)=0 \}$
1) Montrer que $I(\alpha)$ est un idéal de $\Q[X]$ différent de $\{0 \}$
2) Montrer qu'il existe donc un unique polynôme unitaire $\Pi_{\alpha} \in \Q[X]$ appelé polynôme minimal de $\alpha$ tel que $I(\alpha)= \{ \Pi_{\alpha} Q | \ Q \in \Q[X] \}$. On appelle degré de $\alpha$ le degré du polynôme $\Pi_{\alpha}$.
1) Comme $\alpha$ est algébrique, il existe $P$ non nul dans $\Q[X]$ tel que $P(\alpha)=0$ donc $I(\alpha)$ n'est pas réduit à $\{0 \}$.
- $I(\alpha)$ est non vide.
- Soient $U,V \in I(\alpha)$. Alors $U$ et $V$ sont dans $\Q[X]$ et $U(\alpha)=V(\alpha)=0$. $(U-V)(\alpha)=U(\alpha)-V(\alpha)=0-0=0$ et la différence de 2 polynômes à coefficients dans $\Q[X]$ reste à coefficients dans $\Q[X]$. On a montré que $U-V \in I(\alpha)$.
- $I(\alpha)$ est une partie de $\Q[X]$. Soit $A \in I(\alpha)$ et $B \in \Q[X]$. Un produit de polynômes à coefficients dans $\Q[X]$ reste à coefficients dans $\Q[X]$. Montrons que $(AB)( \alpha)=0$ Comme $A \in I(\alpha)$ alors $X- \alpha$ divise $A$. Ainsi, $X- \alpha$ divise $AB$ et on a bien $AB(\alpha)=0$
2) Je n'ai pas réussi.
Réponses
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OShine tu remarqueras que si $\Pi_{\alpha}$ existe alors c'est un polynôme de degré minimal parmi les polynômes de $I(\alpha)$. Donc tu n'as qu'à prendre un polynôme de degré minimal dans $I(\alpha)$ et montrer qu'il fait l'affaire (en utilisant la division euclidienne au passage).
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Indications pour la 2) : montrer qu'il existe un polynôme $P \in I(\alpha)$ non nul et de degré minimal. Choisir un tel $P$, et en utilisant la division euclidienne dans $\Q[X]$ montrer que $I(\alpha)=P\times \Q[X]$.
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2) Que sais-tu des idéaux de $\mathbf{K}[X]$ ?
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Trois fois la même réponse en moins d'une minute 😁...
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BonsoirLa copie de la fin de la question 2 est fautive.
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GaBuZoMeu
Merci j'ai corrigé la coquille.
D'accord merci. Je reviens sur cette notion, car je me souviens qu'en prépa je n'avais rien compris à la notion d'idéal.
Montrons que les idéaux de $K[X]$ sont de la forme $B K[X]$ avec $B \in K[X]$. Après, il reste juste à montrer l'unicité.- Si $I=\{0 \}$ alors $I= 0 K[X]$
- Sinon, il existe un élément non nul dans $I$ de degré minimal. Notons le $B$. Montrons que $I= B K[X]$. Comme $I$ est un idéal de $K[X]$, on a directement $B K[X] \subset I$. Réciproquement, si $A \in I$, alors on effectue la division euclidienne de $A$ par $B$. On a $A=BQ+R$ avec $\deg R < \deg B$. Or $R=A-BQ \in I$ car $A \in I$ et $BQ \in I$ et $I$ est un idéal. Par minimalité du degré de $B$ parmi les polynômes non nuls de $I$, alors $R=0$ et $A=BQ \in B K[X]$. Donc $I \subset B K[X]$
- Finalement $I=B K[X]$
Tout idéal $I$ de $K[X]$ non réduit à $\{0 \}$ est de la forme $A K[X]$pour un unique polynôme unitaire $A$.
J'y réfléchis.
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Comment tu montres qu'il existe un élément non nul dans $I$ de degré minimal ? Est-ce qu'il est unique ?
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J'ai fait une distinction de cas, dans le cas où $I \ne \{0 \}$ il existe un élément non nul dans $I$. Il existe toujours un polynôme de degré minimal dans $K[X]$ non ?
Montrons l'unicité du polynôme unitaire $A$ qui vérifie $I=A K[X]$.
Deux polynômes $A$ et $B$ sont associés si et seulement si $A \mid B$ et $B \mid A$.
Montrons d'abord que $\boxed{\forall (A,B) \in K[X]^2 \ \ B \mid A \Leftrightarrow A K[X] \subset B K[X]}$- Si $B \mid A$ alors il existe $Q \in K[X]$ tel que $A=B Q$. Soit $U \in A K[X]$. Alors $U= A Q' = B QQ' \in B K[X]$
- Réciproquement, supposons $A K[X] \subset B K[X]$. Ainsi, $A \in B K[X]$. $A=BQ$ donc $B \mid A$
Soit $I$ un idéal de $K[X]$ non réduit à $\{0 \}$. Alors $I= B K[X]$ avec $B \in K[X]$. On prend pour $B$ le polynôme de $I$ de degré minimal non nul.
Prenons $A= \dfrac{1}{ dom(B)} B$ qui est bien unitaire, où $dom(B)$ est le coefficient dominant de $B$.
Ainsi, $A$ est unique et unitaire, ce qui répond à la question.
PS : la question $2$ n'était pas une question, c'était une affirmation dans un sujet, mais j'ai pensé que le démontrer serait formateur et me permettrait de mieux comprendre les idéaux de $K[X]$.
-
Pour la suite, je vais tenter de faire quelques questions. Je vais les chercher ce soir.
2) Montrer que $\alpha$ est de degré $1$ si et seulement si $\alpha \in \Q$.
3) a) Montrer que $\Pi_{\alpha}$ est irréductible dans $Q[X]$.
b) Soit $P \in \Q[X]$ un polynôme unitaire, irréductible dans $\Q[X]$. Montrer que si $z$ est une racine complexe de $P$ alors $P$ est le polynôme minimal de $z$.
-
Question 2 :
Supposons que $\deg( \alpha)=1$. Alors $\Pi_{\alpha}$ est de degré $1$. Ainsi, comme il est unitaire, $\Pi_{\alpha} (X)=X-a$ avec $a \in \Q$ car $\Pi_{\alpha} \in \Q[X]$. Mais $\Pi_{\alpha} (\alpha)= \alpha -a=0$ donc $a= \alpha \in \Q$
Réciproquement, si $\alpha \in \Q$, alors $P=X- \alpha$ annule $\alpha$. Il est unitaire. Comme $\Pi_{\alpha} \mid X- \alpha$ et que le polynôme minimal ne peut pas être constant, on en déduit $\Pi_{\alpha}=X- \alpha$ et donc $\deg(\Pi_{\alpha})=1$
Question 3 :
a) Par l'absurde, si $\Pi_{\alpha} $ n'est pas irréductible dans $\Q[X]$ alors on peut écrire $\Pi_{\alpha}= UV$ avec $U$ et $V$ non constants.
Donc $U$ et $V$ sont distincts de $\Pi_{\alpha}$.
Par définition, $\Pi_{\alpha} (\alpha)=0$ donc $(UV)(\alpha)=U(\alpha) V(\alpha)=0$. Comme $\Q$ est un corps, $U(\alpha)=0$ ou $V(\alpha)=0$
Par symétrie, supposons $U(\alpha)=0$. Donc $U \in I(\alpha)$ et $\Pi_{\alpha} \mid U(\alpha)$
Donc $\deg (\Pi_{\alpha}) \leq \deg U(\alpha)$. Or, $\Pi_{\alpha}= UV$ donc $\deg U \leq \deg (\Pi_{\alpha})$. Ainsi, les polynômes $U$ et $\Pi_{\alpha}$ sont associés donc $V$ est constant ce qui est absurde.
b) Soit $P \in \Q[X]$ un polynôme unitaire irréductible dans \Q[X]$. Soit $z$ une racine complexe de $P$ alors $P(z)=0$
Donc $P \in I(z)$. Or, $\Pi_z \mid P$. Je n'arrive pas à conclure
Je sais que je dois utiliser que $\Pi_z$ et $P$ sont irréductibles mais je ne vois pas comment. -
Je ne comprends pas l'erreur Latex j'ai tout bien tapé.
-
OShine a dit :Question 2 :
Supposons que $\deg( \alpha)=1$. Alors $\Pi_{\alpha}$ est de degré $1$. Ainsi, comme il est unitaire, $\Pi_{\alpha} (X)=X-a$ avec $a \in \Q$ car $\Pi_{\alpha} \in \Q[X]$. Mais $\Pi_{\alpha} (\alpha)= \alpha -a=0$ donc $a= \alpha \in \Q$
Réciproquement, si $\alpha \in \Q$, alors $P=X- \alpha$ annule $\alpha$. Il est unitaire. Comme $\Pi_{\alpha} \mid X- \alpha$ et que le polynôme minimal ne peut pas être constant, on en déduit $\Pi_{\alpha}=X- \alpha$ et donc $\deg(\Pi_{\alpha})=1$
Question 3 :
a) Par l'absurde, si $\Pi_{\alpha}$ n'est pas irréductible dans $\Q[X]$ alors on peut écrire $\Pi_{\alpha}= UV$ avec $U$ et $V$ non constants.
Donc $U$ et $V$ sont distincts de $\Pi_{\alpha}$.
Par définition, $\Pi_{\alpha} (\alpha)=0$ donc $(UV)(\alpha)=U(\alpha) V(\alpha)=0$. Comme $\Q$ est un corps, $U(\alpha)=0$ ou $V(\alpha)=0$
Par symétrie, supposons $U(\alpha)=0$. Donc $U \in I(\alpha)$ et $\Pi_{\alpha} \mid U(\alpha)$
Donc $\deg (\Pi_{\alpha}) \leq \deg U(\alpha)$. Or, $\Pi_{\alpha}= UV$ donc $\deg U \leq \deg (\Pi_{\alpha})$. Ainsi, les polynômes $U$ et $\Pi_{\alpha}$ sont associés donc $V$ est constant ce qui est absurde.
b) Soit $P \in \Q[X]$ un polynôme unitaire irréductible dans $\Q[X]$. Soit $z$ une racine complexe de $P$ alors $P(z)=0$
Donc $P \in I(z)$. Or, $\Pi_z \mid P$. Je n'arrive pas à conclure
Je sais que je dois utiliser que $\Pi_z$ et $P$ sont irréductibles mais je ne vois pas comment.
-
OShine, tu sais que $\Pi_z \mid P$ et tu ne sais pas comment utiliser le fait que $P$ est irréductible ? 🤔
-
Gerad0 merci !
raoul.S
Finalement si, j'ai revu la notion de polynôme irréductible en profondeur.
$P$ est irréductible donc ses seuls diviseurs sont les polynômes constants et les polynômes qui lui sont associés. Ainsi, $\Pi_z$ est associé à $P$.
Or, $\Pi_z$ et $P$ sont unitaires, finalement $\boxed{\Pi_z =P}$
La suite m'a l'air intéressante. Ma réponse à la question 4a est-elle correcte ? Ce que je trouve bizarre c'est que je n'utilise pas le fait que $A$ et $B$ soient dans $\Q[X]$.
4) a) Soient $A,B \in \Q[X]$ deux polynômes qui possèdent une racine commune dans $\C$. Montrer que $A$ et $B$ ne sont pas premiers entre eux dans $\Q[X]$.
b) Montrer que les racines de $\Pi_{\alpha}$ dans $\C$ sont simples.
Question 4a :
Notons $z$ la racine commune à $A$ et $B$ dans $\C$. On a $A(z)=B(z)=0$.
Donc $A,B \in I(z)$.
Ainsi, $\Pi_z \mid A$ et $\Pi_z \mid B$ donc $\Pi_z \mid PGCD(A,B)$.
Si $A$ et $B$ étaient premiers entre eux, alors $\Pi_z$ divise $1$ donc $\Pi_z=1$ ce qui est absurde car $\Pi_z$ est annulateur de $z$.
D'après le rapport du jury, on peut aussi raisonner avec Bezout. Je tente cette seconde piste.
Si $A$ et $B$ sont premiers entre eux, alors il existe $U,V \in \Q[X]$ tels que $AU+BV=1$. Mais $A U(z)+ B V(z) =0$, ce qui est absurde.
-
$I(z)= \{ P \in \Q[X] \ | \ P(z)=0 \}$
C'est l'ensemble des polynômes à coefficients rationnels qui ont pour racine $z$. -
Pour la question 4b :
$\Pi_{\alpha}$ est unitaire et irréductible dans $\Q[X]$. D'après ce qui précède, $\Pi_{\alpha}$ est le polynôme minimal de toutes ses racines.
Par l'absurde, si une racine $\Pi_{\alpha}$ est double, notons-la $z$, alors $\Pi_{\alpha} (z)=\Pi_{\alpha} '(z)=0$.
Ainsi, un polynôme de degré strictement inférieur au polynôme minimal annule $z$ ce qui est absurde.
-
La suite.
5)a) Montrer que si $\alpha \in \Q$ est un entier algébrique alors $\alpha \in \Z$.
b) Montrer que si $\alpha \in \C$ est un entier algébrique alors $\Pi_{\alpha} \in \Z[X]$.
Indication : utiliser la question 5)a) et le théorème suivant :
L'ensemble des entiers algébriques est un sous-anneau de $\C$.
Question 5a :
Soit $\alpha \in \Q$ un entier algébrique. Ainsi, il existe $P \in \Z[X]$ tel que $P(\alpha)=0$.
Notons $P(X)=\displaystyle\sum_{k=0}^n a_k X^k$ avec $\forall k \in [|0,n|], \ a_k \in \Z$. Donc $\displaystyle\sum_{k=0}^n a_k \alpha^k =0$
Posons $\alpha=\dfrac{p}{q}$ avec $(p,q) \in \Z \times \N^{*}$. Alors $\displaystyle\sum_{k=0}^n a_k (\dfrac{p}{q})^k =0$
Après je bloque.
-
Par définition d'un entier algébrique, $P$ est unitaire : $a_n=1$. C'est ce qui fait que ça va marcher...
-
Merci. J'avais mal lu la définition d'un entier algébrique.
Du coup $ \dfrac{p^n}{q^n} = -a_0- a_1 \dfrac{p}{q} - \cdots - \dfrac{p^{n-1}}{q^{n-1}}$
Multiplions par $q^{n-1}$ et on obtient $ \dfrac{p^n}{q} = -a_0 q^{n-1}- a_1 q^{n-2}- \cdots -p^{n-1} \in \Z$
Donc $q \mid p^n$ soit $q \mid p$. Par conséquent, $\boxed{\alpha \in \Z}$
Question 5b :
Soit $\alpha \in \C$ un entier algébrique. Il existe $P$ unitaire à coefficients dans $\Z$ tel que $P(\alpha)=0$
Dans $\C$ tout polynôme est scindé et les racines de $\Pi_{\alpha}$ sont simples, ainsi $\Pi_{\alpha} (X)=(X-z_1) (X-z_2) \cdots (X-z_n)$
D'après les relations coefficients racines $P(X)=\displaystyle\sum_{k=0}^n \sigma_k X^k$ avec $\sigma_k = \displaystyle\sum_{1 \leq i_1 <i_2 < \cdots <i_k \leq n} z_{i_1} \cdots z_{i_k}$
Je bloque à cette question, j'y ai passé 30 min je n'ai pas réussi.
-
$q$ divise $p^n$ donc $q$ divise $p$ ?
-
Merci pour la très bonne remarque. J'ai manqué de précision. Par exemple $q=4$ divise $2^3$ mais $4$ ne divise pas $2$.
Je dois préciser que je prends la forme de fraction irréductible de $\alpha= p /q$ avec $PGCD(p,q)=1$
Donc $PGCD(p^n,q)=1$. Finalement, $ q=p^n$ ou $q=1$. Si $q=1$ alors $\alpha = p \in \Z$. Si $q=p^n$ alors $p \mid q$ c'est absurde car $PGCD(p,q)=1$.
Donc $q=1$ et $\alpha= p \in \Z$. -
Pour la 5b est-ce que les $z_i$ sont des entiers algébriques ? Est-ce que les $\sigma_k$ sont des entiers algébriques ?
-
D'ailleurs, j'ai écrit une coquille.
C'est $\Pi_{\alpha} (X)=X^n- \sigma_1 X^{n-1} + \sigma_2 X^{n-2} - \cdots + (-1)^p \sigma_p X^{n-p} + \cdots + (-1)^n \sigma_n$
$\boxed{\Pi_{\alpha} (X)=X^n + \displaystyle\sum_{k=1}^n (-1)^{k} \sigma_k X^{n-k}}$
-
Cette fois-ci je crois que c'est bon mais je suis d'une lenteur affligeante.
Montrons que les $z_i$ sont algébriques. $\alpha$ est un entier algébrique donc il existe $P \in \Z[X]$ unitaire tel que $P(\alpha)=0$.
Mais $\Pi_{\alpha} (\alpha)=0$ ainsi $\exists p \in [|1,n|] ,\ z_p = \alpha$ et $z_p$ est algébrique.
Or $\Pi_{\alpha} \mid P$ donc $P = \Pi_{\alpha} \times Q$ avec $Q \in \Z[X]$. Ainsi, $P(z_i)=0$ pour tout $i \in [|1,n|]$.
On a montré que les $z_i$ sont des entiers algébriques.
Comme l'ensemble des entiers algébriques est un sous-anneau de $\C$, et que les $\sigma_k$ sont des sommes de produits d'entiers algébriques, les $\sigma_k$ sont des entiers algébriques. En effet, un sous-anneau est un sous-groupe stable pour la multiplication.
Mais je bloque à ce stade, je ne vois pas à quoi ça sert de savoir que $\sigma_k$ est un entier algébrique.
On doit montrer que les $\sigma_k$ sont des entiers relatifs.
-
Essayer d'utiliser 5a) pour démontrer 5b) est assez classique.
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Ah d'accord merci c'est évident maintenant. Pas facile cette question 5b.
La suite et fin de cette partie.
6)a) Soit $\alpha \in \C$ un entier algébrique de degré $2$ et de module $1$. Montrer que $\alpha$ est une racine de l'unité.
b) Montrer que $\dfrac{3+4i}{5}$ est un nombre algébrique de degré $2$ et de module $1$ mais n'est pas une racine de l'unité.
6)a) Soit $\alpha$ un entier algébrique de degré $2$. Donc son polynôme minimal est de degré $2$.
D'après la question 5)b), on sait que $\Pi_{\alpha} \in \Z[X]$. Donc il existe des entiers relatifs $a,b$ tels que $\Pi_{\alpha} (X)=X^2+aX+b$
Or, $| \alpha |=1$ donc on a $\alpha= e^{ i \theta}$ avec $\theta \in \R$.
$\Pi_{\alpha} ( e^{ i \theta} )= e^{ 2 i \theta} + a e^{ i \theta} +b=0$
Je bloque sur cette question. Je n'arrive pas à avancer.
-
Bonsoir.
$(x-\frac{3}{5}+\frac{4i}{5}) (x-\frac{3}{5}-\frac{4i}{5}) = x^2 - \frac{6}{5} x + 1$.
Ce polynôme est-il cyclotomique ?
À bientôt.
Cherche livres et objets du domaine mathématique :
Intégraphes, règles log et calculateurs électromécaniques.
-
Dreamer quel rapport avec la question 6)a ? Je n'ai pas étudié les polynômes cyclotomiques.
Pour la 6)a), étant bloqué j'ai regardé le rapport du jury qui dit que $\Pi(X)=(X- \alpha)(X - \bar{ \alpha} )$ car le polynômes minimal est à coefficients entiers donc réels.
C'est logique car si $\alpha$ est racine, et qu'un polynôme est à coefficient réels alors $\bar{\alpha}$ est aussi racine.
Je n'ai pas trop compris l'indication : une étude du coefficient de degré $1$ montrait que son module était au plus $2$ ce qui donnait un nombre fini de cas à examiner. Plusieurs candidats n'ont cependant pas exclu le cas $\alpha= \pm 1$ de leurs conclusions, ce qui était pourtant exclu par l'hypothèse du degré égal à $2$.
On a $\Pi(X)=(X- \alpha)(X - \bar{ \alpha} ) =X^2- 2 Re(\alpha) X+|\alpha|^2$
Or $\Pi(\alpha)=0= \alpha^2 -2 Re(\alpha)+|\alpha|^2=0$ donc $\boxed{|\alpha|^2+ \alpha^2 = 2 Re(\alpha)}$
Donc $| -2 Re(\alpha) |= |2 Re(\alpha) | =| |\alpha|^2+ \alpha^2 | \leq 2 |\alpha|^2 \leq 2$ car $|\alpha| =1$
Ainsi, le module du coefficient devant $X$ est de module au plus $1$. Mais je n'ai pas compris les cas en nombre fini à examiner. -
Bravo à la correction alors, puisqu'elle a donné sans le dire le critère des polynômes cyclotomiques, polynômes dont l'ensemble des solutions sont les "racines de l'unité".
Et désolé pour ma pollution de fil, elle est dûe à l'heure tardive et ne se reproduira plus.
Bonne continuation.Cherche livres et objets du domaine mathématique :
Intégraphes, règles log et calculateurs électromécaniques.
-
Je n'ai pas regardé de corrigé. Les seules aides que je me suis autorisé sont le rapport du jury.Mais je bloque toujours sur la question 6)a) je ne comprends pas le nombre fini de cas donné
-
Je te rappelle que les coefficients du polynôme minimal sont entiers.
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Ah d'accord merci. Je vais essayer de terminer le raisonnement avec ça.
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Pour la 6)a), on peut montrer que $\Pi_{\alpha}\in\{X^2+1,X^2+X+1,X^2-X+1\}$.
-
Merci à vous. Par contre, je ne comprends pas le rapport du jury qui dit d'exclure les cas $\alpha = \pm 1$ . Car si $\alpha=1$ alors $\Pi_{\alpha} (X)=(X-1)^2$ je ne vois pas le problème avec le degré $2$ ...
Il y a 6 cas à considérer car en posant $a= - 2 Re(\alpha)$ on a $|a| \leq 2$ avec $a \in \Z$- $a=-2$ alors $- 2 Re(\alpha)=-2$ soit $Re(\alpha)=1$. Or, $Re(\alpha)^2 + Im( \alpha)^2=1$ soit $Im(\alpha)=0$. On a donc $\alpha=1$. On a bien $1$ qui est racine de l'unité car $1^1=1$.
- $a=-1$ alors $- 2 Re(\alpha)=-1$ soit $Re(\alpha)=1/2$. Or, $Re(\alpha)^2 + Im( \alpha)^2=1$ soit $Im(\alpha)=\pm \sqrt{3} /2$. On a donc $\alpha=\dfrac{1\pm \sqrt{3}}{2}=e^{ \pm i \pi /3}$. On a bien $e^{\pm i \pi /3}$ qui est racine de l'unité car $(e^{ \pm i \pi /3})^6=e^{\pm 2 i \pi}=1$.
- $a=0$ alors $- 2 Re(\alpha)=0$ soit $Re(\alpha)=0$. Or, $Re(\alpha)^2 + Im( \alpha)^2=1$ soit $Im(\alpha)=\pm 1$. On a donc $\alpha= \pm i$. On a bien $\pm i$ qui est racine de l'unité car $i^4=1$.
- $a=1$ alors $- 2 Re(\alpha)=1$ soit $Re(\alpha)=-1/2$. Or, $Re(\alpha)^2 + Im( \alpha)^2=1$ soit $Im(\alpha)=\pm \sqrt{3} /2$. On se ramène au cas $a=-1$.
- $a=2$ alors $- 2 Re(\alpha)=2$ soit $Re(\alpha)=-1$. Or, $Re(\alpha)^2 + Im( \alpha)^2=1$ soit $Im(\alpha)=0$. On se ramène au cas $a=-2$.
-
$1$ et $-1$ sont de degré $1$ sur $\Q$.
-
Merci Gai Requin bien vu. En effet, le polynôme minimal de $1$ est le polynôme de plus bas degré de $\Q[X]$ qui annule $1$.
Or $P(X)=X-1$ annule $1$ ce qui contredirait le faire que $\Pi_{\alpha} (X)=(X-1)^2$.
Le raisonnement est identique pour $\alpha =-1$
Il me reste plus que la 6)b). -
Question 6)b) J'ai une idée mais je ne suis pas sûr de moi. Le polynôme minimal que je trouve est-il correct ?
Posons $z=\dfrac{3+4i}{5}$
J'ai pensé à utiliser la question 3)b). Posons $P(X)=(X- \dfrac{3+4i}{5})(X+\dfrac{3+4i}{5})= X^2-2 Re(z)+ |z|^2$
Comme $|z|=1$ et $Re(z)=\dfrac{3}{5}$ alors $\boxed{P(X)=X^2-\dfrac{6}{5} X+1}$
$P$ est un élément de $\Q[X]$ unitaire et irréductible dans $\Q[X]$ car il n'admet pas de racine dans $\Q$ (pas sûr de ce passage) alors d'après la question 3)b, $P$ est le polynôme minimal de $z$.
Si $z$ était une racine de l'unité, alors $z$ serait algébrique. En effet, si $z$ est racine de l'unité, il existe un entier $k$ tel que $z^k=1$ et donc le polynôme $X^k-1$ est unitaire à coefficients entiers et il annule $z$.
Mais alors $\Pi_{\alpha}$ serait à coefficients entiers ce qui est impossible car $\dfrac{6}{5}$ n'est pas un nombre entier.
Première fois de ma vie que je finis une partie sans regarder une seule fois un corrigé. J'ai quand même mis 2 jours pour faire une partie, après c'est XENS donc aucune question n'est donnée.
-
PS. juste une précision : Si $z$ était une racine de l'unité, alors $z$ serait un entier algébrique.
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