Relation entre les angles de quatre triangles
Bonsoir,
$ABC$ est un triangle, $\alpha$, $\beta$ et $\gamma$ ses angles. On a (notations habituelles) : $OH^2=R^2(1-\cos(\alpha) \cos(\beta) \cos(\gamma))$, $AH^2=2R^2(1+\cos(2\alpha))$, $BH^2=2R^2(1+\cos(2\beta))$ et $CH^2=2R^2(1+\cos(2\gamma))$. J'utilise ces égalités pour construire un triangle semblable ayant un cercle circonscrit de rayon $1$ et centré sur l'origine $o$. Pour cela je place un point $h$ sur $[ox)$ tel que $oh^2=1-\cos(\alpha) \cos(\beta) \cos(\gamma)$ puis je construis les cercles de centre $h$ et de rayon $\sqrt{2(1+\cos(2\alpha))}$, $\sqrt{2(1+\cos(2\beta))}$ et $\sqrt{2(1+\cos(2\gamma))}$. Ces trois cercles coupent le cercle trigonométrique en six points qui définissent huit triangles, quatre si on raisonne par symétrie par rapport à $(oh)$.
Je m'intéresse aux angles de ces quatre triangles : l'un d'entre eux possède les mêmes angles que le triangle $ABC$, mais les trois autres ? Je vois bien qu'il y a une histoire de supplémentaires et aussi de sommes de deux de ces angles, mais je n'arrive pas à trouver une méthode de calcul qui les donnerait tous, bien rangés par triangle. Car quel est le triangle semblable à $ABC$ parmi les quatre ?
Dans cette figure GeoGebra les angles sont rangés dans des listes.
$ABC$ est un triangle, $\alpha$, $\beta$ et $\gamma$ ses angles. On a (notations habituelles) : $OH^2=R^2(1-\cos(\alpha) \cos(\beta) \cos(\gamma))$, $AH^2=2R^2(1+\cos(2\alpha))$, $BH^2=2R^2(1+\cos(2\beta))$ et $CH^2=2R^2(1+\cos(2\gamma))$. J'utilise ces égalités pour construire un triangle semblable ayant un cercle circonscrit de rayon $1$ et centré sur l'origine $o$. Pour cela je place un point $h$ sur $[ox)$ tel que $oh^2=1-\cos(\alpha) \cos(\beta) \cos(\gamma)$ puis je construis les cercles de centre $h$ et de rayon $\sqrt{2(1+\cos(2\alpha))}$, $\sqrt{2(1+\cos(2\beta))}$ et $\sqrt{2(1+\cos(2\gamma))}$. Ces trois cercles coupent le cercle trigonométrique en six points qui définissent huit triangles, quatre si on raisonne par symétrie par rapport à $(oh)$.
Je m'intéresse aux angles de ces quatre triangles : l'un d'entre eux possède les mêmes angles que le triangle $ABC$, mais les trois autres ? Je vois bien qu'il y a une histoire de supplémentaires et aussi de sommes de deux de ces angles, mais je n'arrive pas à trouver une méthode de calcul qui les donnerait tous, bien rangés par triangle. Car quel est le triangle semblable à $ABC$ parmi les quatre ?
Dans cette figure GeoGebra les angles sont rangés dans des listes.
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Réponses
Que voilà une manière compliquée de construire un triangle semblable à un triangle donné, inscrit dans le seul cercle qui nous reste encore, à savoir le divin cercle trigonométrique.
Quant à moi, j'ai toujours appris que:
$$OH^2=R^2\big(1-8\cos(\alpha)\cos(\beta)\cos(\gamma)\big)$$
Lalesco, page=108, article 15.10
Amicalement
pappus
Construire ce triangle semblable n'est pas mon problème ici, il se trouve que j'ai construis une figure qui débouche là-dessus, alors j'ai présenté les choses les plus clairement possibles. Et puis, n'est-ce pas une question intéressante que de trouver ces angles ? J'ai d'ailleurs un peu avancé sur le sujet, une petite chasse aux angles suffit en effet pour montrer que ces quatre triangles ont pour angles :
$\alpha\leq\beta\leq\gamma$ ; $\zeta$, $\beta-\zeta$ et $\pi-\beta$ ; $\alpha$, $\beta-\zeta$ et $\gamma+\zeta$; $\zeta$, $\gamma$ et $\pi-\gamma-\zeta$ (peut-être qu'il y a du modulo $\pi$ là-dedans).
Reste à calculer la valeur $\zeta$, mais la figure n'est pas si compliquée après tout : il s'agit d'un quadrilatère inscriptible avec ses deux diagonales !
Amicalement,
Ludwig
Ce que je ne comprends pas, c'est ton passage par le cercle trigonométrique.
Pourquoi ne pas partir d'un triangle $ABC$, de son orthocentre $H$ et de son cercle circonscrit $\Gamma$?
On prend les symétriques respectifs $A'$, $B'$, $C'$ des points $A$, $B$, $C$ par rapport à la droite d'Euler $OH$ et on obtient tes huit triangles:
$ABC$, $ABC'$, $AB'C$, $AB'C'$, $A'BC$, $A'BC'$, $A'B'C$, $A'B'C'$ dont on peut chercher à évaluer les angles éventuellement.
Nul besoin d'utiliser tes formules trigonométriques que tu as d'ailleurs toujours écorchées!
Amicalement
pappus
Les angles des huit triangles sont:
On remarque que les 7 orthocentres sont alignés sur une perpendiculaire à la droite d'Euler initiale.
Cordialement, Pierre.
Pierre a adopté mon point de vue sur la figure!
Je subodore déjà que les angles de Ludwig n'ont rien à voir avec ceux de Pierre!
Amicalement
pappus
PS
Quand je parle d'angles, je déclare toujours au préalable la notion d'angles que j'utilise!
\def\zang#1#2{\left(\overbrace{#1,\,#2}\right)} \def\wwz{\boxed{W_{z}}} \def\ortoz{\boxed{OrtO_{z}}} \def\metz{\boxed{\mathcal{M}_{z}}} \def\tra#1{{{\vphantom{#1}}^{t}{#1}}} $
Cordialement, Pierre.
Tes angles Pierre doivent correspondre aux miens, à ceci près que tu as parlé d'angles orientés et pas moi. Et tu as bien fait, car c'est bien la meilleure (la seule ?) façon d'en parler. Reste donc à déterminer la valeur de ton $\alpha'$, qui doit correspondre à peu près à mon $\zeta$ (oula cet à peu près...).
Oui pappus on aurait pu construire ces huit triangles avec la symétrie par rapport à la droite d'Euler, mais ce n'est pas ce que veux. Et ce que je veux aussi c'est répondre à la question suivante : parmi les huit triangles, comment fait-on pour trouver les deux qui sont semblables à $ABC$ ? Et cela par une méthode qui ne consiste pas à vérifier que ce sont bien les bons (par exemple en écartant ceux qui n'ont pas le bon orthocentre), je veux une méthode constructive qui donne la réponse à coup sûr. Nommer leurs sommets sans ambiguïté. On a les six intersections et rien d'autre, on fait comment ? Il faut en prendre une par cercle centré sur $h$ : laquelle ? Je pense à une numérotation des intersections entre deux cercles mais pas celle utilisée par GeoGebra (on ne sait même pas comment il fait) car celle-ci ne permet pas une construction stable : construisez un triangle semblable à $ABC$ en choisissant à l'oeil trois bonnes intersections puis faites tourner le point $C$ (par exemple) sur le cercle $(O)$ : le triangle construit ne restera pas semblable à $ABC$ sur tout le cercle.