Limite dans les complexes (spé MP)

@nicolas.patrois : Je crois que tu as fait une erreur de calcul. Sauf erreur de ma part, il n’y a pas de « piège ».

Si on note $(u_n)$ la suite étudiée, intéresse toi à la suite $(v_n)$ définie par $v_n = u_{n+1}- c u_n$.

@bestM on a $a^n+b^n+c^n=a^n\left(1+\left(\dfrac{b}{a}\right)^n+\left(\dfrac{c}{a}\right)^n\right)$ si $a\neq 0$.

C'est un bon début je crois.

Edit : effectivement la solution de gebrane clôt le problème (je ne l'avais pas lue car le latex était dégueu).

MrJ a dit :

nicolas.patrois : Je crois que tu as fait une erreur de calcul. Sauf erreur de ma part, il n’y a pas de « piège ».

Oui, en effet.

Je tente une solution sans Vandermonde.  Sans les supposer distincts, on peut toujours supposer $\left|a\right|\leq\left|b\right|\leq\left|c\right|$ ce qui amène à considérer plusieurs cas
1) $\left|a\right|\leq\left|b\right|<\left|c\right|$ alors $$\left|a^{n}+b^{n}+c^{n}\right|=\left|c^{n}\right|\left|1+\left(\frac{a}{c}\right)^{n}+\left(\frac{b}{c}\right)^{n}\right|$$ et $a^{n}+b^{n}+c^{n}$ tend vers zéro implique $\left|c\right|<1$ puisque $\left(\frac{a}{c}\right)^{n}$ et $\left(\frac{b}{c}\right)^{n}$ tendent vers zéro.
2) $\left|a\right|<\left|b\right|=\left|c\right|$ alors il existe $\theta$ réel tel que $b/c=e^{i\theta}$ et $$\left|a^{n}+b^{n}+c^{n}\right|=\left|c^{n}\right|\left|1+\left(\frac{a}{c}\right)^{n}+e^{i\theta n}\right|$$On a $\left(\frac{a}{c}\right)^{n}$ qui tend vers zéro car $\left|\frac{a}{c}\right|<1$ et $1+e^{i\theta n}$ ne peut pas converger vers zéro (*) donc $a^{n}+b^{n}+c^{n}$ tend vers zéro implique $\left|c\right|<1$.
3) $\left|a\right|=\left|b\right|=\left|c\right|$ alors il existe $\theta_{1}$ et $\theta_{2}$ réels tel que $b/c=e^{i\theta_{1}}$ et $a/c=e^{i\theta_{2}}$ et$$\left|a^{n}+b^{n}+c^{n}\right|=\left|c^{n}\right|\left|1+e^{i\theta_{1}n}+e^{i\theta_{2}n}\right|$$Comme $1+e^{i\theta_{1}n}+e^{i\theta_{2}n}$ ne peut pas converger vers zéro (**) $a^{n}+b^{n}+c^{n}$ tend vers zéro implique $\left|c\right|<1$
(*) $1+e^{i\theta n}$ tend vers zéro veut dire $1+e^{i\theta(n+1)}$ aussi et donc $1=e^{i\theta}\Rightarrow\theta=2k\pi$ et $e^{i\theta n}=1$ contradiction
Maintenant soit $\theta_{2}=\theta_{1}+2k\pi$ et alors $1=e^{i\theta_{1}}\Rightarrow\theta_{1}=2k'\pi\Rightarrow e^{i\theta_{1}n}=1\Rightarrow e^{i\theta_{2}n}\rightarrow-2$ impossible. Soit $e^{i\theta_{2}}-e^{i\theta_{1}}\neq0\Rightarrow e^{i\theta_{2}n}\rightarrow\frac{1-e^{i\theta_{1}}}{e^{i\theta_{2}}-e^{i\theta_{1}}}$
$\Rightarrow e^{i\theta_{2}n}e^{i\theta_{2}}\rightarrow\frac{1-e^{i\theta_{1}}}{e^{i\theta_{2}}-e^{i\theta_{1}}}$
$\Rightarrow e^{i\theta_{2}}=1\Rightarrow\theta_{2}=2k''\pi\Rightarrow e^{i\theta_{2}n}=1\Rightarrow e^{i\theta_{1}n}\rightarrow-2$ impossible.

PS : je suppose qu'il existe un théorème permettant de dire que pour tout $m$-uplet de réels $\theta_{1},\ldots,\theta_{m}$ la suite $\sum_{k=1}^{m}e^{i\theta_{k}n}$ ne peut pas converger.

Oui Gebrane il faut une petite modif à l'énoncé