Wikipédia donne la définition suivante du groupe des quaternions. J'ai l'impression qu'il y a une erreur et qu'il faut rajouter que la loi est associative, cette propriété ne se déduisant pas des axiomes donnés. Êtes-vous d'accord ?
Je sais que d'après le théorème de Lagrange, les sous-groupes de $H$ ne peuvent être que d'ordre $1, 2$ ou $4$. Mais je ne vois pas trop comment justifier qu'il n'y a pas d'autres sous-groupes même si j'ai l'impression qu'il n'y a quasiment presque plus rien à faire...
C’est-à-dire que l’on parle d’un groupe. Je suis d’accord qu’il persiste une maladresse.
On aurait pu préférer quelque chose comme : « le groupe des quaternions est le groupe souvent désigné par … ».
Il est vrai qu’on connaît $1$ et $i$ mais que l’on ne connaît pas $j$, ni $k$. Je suis d’accord pour dire que cet énoncé n’est pas complet et que s’il on est rigoriste alors il est mal ficelé.
Je rejoins MrJ qui parle de définition heuristique.
Ce n'est pas une définition heuristique mais un résumé pour écrire la table de multiplication complète. À charge de la lectrice de vérifier que cela définit bien un groupe. Il se trouve que c'est aussi une présentation. La description par les matrices de Pauli dispense de pas mal de vérifications.
@topopot : bonjour, je me pose la même question que tu as posée. Voici un exercice de Serge Lang qui devrait permettre d'y répondre.
"Il existe un groupe $G$ d'ordre $8$ ayant des générateurs notés $i, j$ et $k$ tels que $$ij=k,\ jk=i,\ ki=j,\ i^2=j^2=k^2;$$
Notons $m$ l'élément $i^2$. Montrer que les éléments $e,i,j,k,m,mi,mj,mk$ sont des éléments distincts de $G$. Déterminer tous les sous-groupes de $G$." Je trouve $<e>,\ <e,i,i^2,i^3>,\ <e,j,j^2,j^3>,\ <e,k,k^2,k^3>, \ <e,m>$ comme sous-groupes propres.
Réponses
Avec $A=\begin{pmatrix} 0 & -1 \\
1 & 0
\end{pmatrix}$, $B=\begin{pmatrix} 0 & i \\
i & 0
\end{pmatrix}$, $C=\begin{pmatrix} -i & 0 \\
0 & i
\end{pmatrix}$.
J'arrive à déterminer les sous-groupes suivants de $H$ :
- $\langle I_2\rangle$ d'ordre $1$ ;
- $\langle -I_2\rangle$ d'ordre $2$ ;
- $\langle A\rangle, \langle B\rangle$ et $\langle C\rangle$ d'ordres $4$ ;
- $\langle A,B\rangle=\langle A,C\rangle=\langle B,C\rangle=H$ d'ordre $8$.
Je sais que d'après le théorème de Lagrange, les sous-groupes de $H$ ne peuvent être que d'ordre $1, 2$ ou $4$. Mais je ne vois pas trop comment justifier qu'il n'y a pas d'autres sous-groupes même si j'ai l'impression qu'il n'y a quasiment presque plus rien à faire...Je suis d’accord qu’il persiste une maladresse.
-- Schnoebelen, Philippe
Je trouve $<e>,\ <e,i,i^2,i^3>,\ <e,j,j^2,j^3>,\ <e,k,k^2,k^3>, \ <e,m>$ comme sous-groupes propres.