Ivan Niven et $\sqrt{2}$
dans Arithmétique
Je viens de lire sa démonstration de l’irrationalité de $\sqrt{2}.$
'Sinon, il existe un plus petit entier $n>0$ tel que $n\sqrt{2}$ est entier. Mais $n\sqrt{2}-n$ a la même propriété et est plus petit que $n.$'
'Sinon, il existe un plus petit entier $n>0$ tel que $n\sqrt{2}$ est entier. Mais $n\sqrt{2}-n$ a la même propriété et est plus petit que $n.$'
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Réponses
Une autre preuve simple (est-ce la preuve standard ?) :
sinon, $p^2 = nq^2$ ; la décomposition en facteurs premiers ne contient à gauche que des exposants pairs et contient à droite au moins un exposant impair !...
A+
Soit $n,a,b\in\Z$ tels que $\gcd(a,b)=1$ et $n=\dfrac{a^2}{b^2}$. Alors :$$n=n\gcd(a^2,b^2)=\gcd(na^2,nb^2)=\gcd(na^2,a^2)=a^2.$$
En tant qu’automorphisme d’une extension de $\mathbb{Q}$, $f$ fixe tout rationnel (i.e. $f(q)=q, \: \forall q \in \mathbb{Q}$).
Or, $f(\sqrt{2})=-\sqrt{2}$. Donc $\sqrt{2}$ est irrationnel !