Uniformément en t

André49
André49
Modifié (November 2021) dans Analyse
Bonjour
En revenant au domaine des équations différentielles, je constate que certains documents utilisent l'expression "localement lipschitzienne en $x$ uniformément en $t$".
Alors je me suis demandé, dans ma large ignorance, pourquoi préciser "uniformément en $t$" ?
Y aurait-il des cas où une application pourrait être "localement lipschitzienne en $x$" mais "non uniformément en $t$" ?
Comme je reviens sur le sujet après une longue absence, j'ai du mal à saisir certaines nuances de définitions.
Pourriez-vous m'éclairer sur la précision, nécessaire ou non, de "uniformément en $t$" ?
Merci.

Réponses

  • Dom
    Dom
    Modifié (November 2021)
    Pour moi, ça signifie que dans l’inégalité, on majore par quelque chose qui ne dépend pas de $t$.
    La constante $k$ ne doit pas dépendre de $t$. 
    Patience pour un contre-exemple…
  • André49
    André49
    Modifié (November 2021)
    Bonjour,
    C'est vrai que dans les définitions, on voit bien que $k$ ne dépend pas de $t$ ; c'est même tellement évident que cette expression "uniformément en $t$" n'apparait pas partout... Mais alors, pourquoi certains l'incluent-ils tout de même ? Juste par souci maniaque de la précision ? Je trouve que ça peut prêter à confusion.
    D'autant que "uniformément" me fait spontanément penser à "continuité uniforme", ce qui me semble mélanger les genres.
    Et ensuite, lorsqu'on voit dans un document l'expression "uniformément en $t$" revenir plusieurs fois, on peut se dire qu'il doit y avoir des cas où, justement, on aurait "non uniformément en $t$".
    Sauf que je n'ai pas trouvé l'expression "localement lipschitzienne en x non uniformément en t"...
  • Héhéhé
    Héhéhé
    Modifié (November 2021)
    Si j'ai bien compris ta question, ce document montre que l'hypothèse "localement lipschitzienne en x non uniformément en t" n'est pas suffisante pour assurer l'unicité.
  • André49
    André49
    Merci d'avoir fourni ce document ! Maintenant, sans doute dû à une certaine difficulté à lire en anglais, je ne vois pas bien ce qui, dans ce document, correspond à cette expression : "non uniformément en t". C'est bête, mais si tu pouvais me pointer du doigt l'endroit correspondant du doc, je comprendrais sans doute mieux. Merci.
  • Poirot
    Poirot
    Il y a une interversion de quantificateurs assez explicite dans la première page.
  • Héhéhé
    Héhéhé
    Dans (2), $L$ est uniforme par rapport à $x$ mais pas dans (3). Dans ce document, $x$ joue le rôle de ton $t$ et $y$ joue le rôle de ton $x$...
  • André49
    André49
    Modifié (November 2021)
    Bonjour,
    Dans le doc fourni par $Héhéhé$, je pense avoir compris (si je ne m'abuse) la différence entre $\exists L \ldots \forall x \ldots$, qui devrait correspondre à un Lipschitz global sur tout $[x_0-a,x_0+a] \times [y_0-b,y_0+b]$) et $\forall x \ldots \exists L \ldots$, qui devrait correspondre à un Lipschitz local (sur des ouverts de $[x_0-a,x_0+a] \times [y_0-b,y_0+b]$.
    Mais il n'est pas impossible que je me mélange encore les pinceaux ; j'ai la douloureuse impression d'être un peu lourd sur ce sujet.
    Particulièrement sur les différences entre "global" et "local", "uniformément" et "non forcément uniformément"...
    Alors je tente ci-dessous de noter formellement ce que je saisis déjà de l'expression "uniformément" (avec mes notations habituelles $t$ et $y$).
    Soit $$\begin{cases}
    I, intervalle \,ouvert \,de \,\mathbb{R}\\
    \Omega, \, ouvert \,de \,\mathbb R^n\\
    f\, continue : \begin{array}[t]{ccl}I \times \Omega &\rightarrow &\mathbb R^n\\(t,y) &\mapsto &f(t,y)\end{array}
    \end{cases}$$
    On dit que $f$ est localement Lipschitz en $y$ ssi :
    $$\forall (t,y) \in I \times \Omega,\ \exists \begin{cases}
    voisinage \,U(t) \subset I\\
    voisinage \,V(y) \subset \Omega\\
    réel \,k(t,y) > 0
    \end{cases},\ \begin{cases}
    \forall t \in U \\
    \forall y_1,y_2 \in V \end{cases},\ \lVert f(t,y_1)-f(t,y_2 \rVert \leq k(t,y) \lVert y_1-y_2 \rVert $$
    On dit que $f$ est localement Lipschitz en $y$ uniformément en $t$ ssi :
    $$\forall (t,y) \in I \times \Omega,\ \exists \begin{cases}
    voisinage \,U(t) \subset I\\
    voisinage \,V(y) \subset \Omega\\
    réel \,k(y) > 0
    \end{cases},\ \begin{cases}
    \forall t \in U \\
    \forall y_1,y_2 \in V \end{cases},\ \lVert f(t,y_1)-f(t,y_2 \rVert \leq k(y) \lVert y_1-y_2 \rVert $$
    Est-ce que ces écritures vous paraissent adéquates, ou bien est-ce que, définitivement, je ne saisis pas la question ?
    Merci pour votre patience...
  • Riemann_lapins_cretins
    Riemann_lapins_cretins
    Modifié (November 2021)
    Je passe rapidement sur le forum donc je réponds.
    Dans certaines théories, comme celle du contrôle par exemple, les fonctions régulières ne sont pas le cadre naturel et on a besoin d'hypothèses plus fortes que celles du théorème qu'on enseigne en troisième année.
    Par exemple on peut avoir un résultat d'existence et unicité en prenant une constante de Lipschitz k(t), dépendant de t donc, à la condition que k soit localement intégrable (et l'autre condition est que pour tout x fixé, la fonction partielle f(x,t) soit majorée en module par une fonction localement intégrable).
    Donc non ça ne va pas forcément de soi que la constante est indépendante du temps, c'est une interprétation naturelle de l'énoncé mais ça limite trop les possibilités passé un certain stade.
  • André49
    André49
    Et donc, les écritures formalisées ci-dessus ne seraient pas adéquates, pour les définitions de "localement Lipschitz en$y$" et "localement Lipschitz en $y$ uniformément en $t$" ?
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