Problème d'analyse

evariste21
evariste21
Modifié (December 2021) dans Analyse
$\require{cancel}$Soit   $\varphi :  \mathbf{N}\to  U$ tel que
  • $\cancel{U=\{-1,+1\}}$.
  • $\cancel{\exists a\in ]0;1[,\  \forall n \in \mathbf{N}, \  \left|\sum\limits_{k=1}^{n} \varphi( k)\right|\leq n^{a}}$.
Prouver que $$\cancel{b>a\implies \sum_{k=1}^{+\infty} \frac{\varphi(k)}{n^b}<+\infty  \qquad \text{et} \qquad \left| \sum_{k=1}^{+\infty} \frac{\varphi(k)}{n^b}\right|\leq \frac{b}{b-a}.}$$Merci.
Énoncé à corriger...

[Il n'est pas correct d'effacer le message initial de la discussion dès lors que quelqu'un s'est donné la peine d'y répondre. Je le rétablis. AD]

Réponses

  • Guego
    Guego
    J'imagine que c'est $k^b$ au dénominateur, et non $n^b$. À part ça, transformation d'Abel, et remarquer que $\dfrac{k^a}{k^b} - \dfrac{k^a}{(k+1)^b} = bk^a\displaystyle \int_{k}^{k+1} \dfrac{1}{t^{b+1}}dt  \leqslant  b\displaystyle \int_{k}^{k+1} \dfrac{t^a}{t^{b+1}}dt$.
  • Laborieux
    Laborieux
    Bonjour,
    je ne vois pas l'énoncé du problème. Est-ce que je suis le seul ?

  • gebrane
    gebrane
    @Laborieux nous sommes au moins deux
    Le 😄 Farceur


  • evariste21
    evariste21
    Bonjour,

    Désolé, cachez momentanément la déclaration et mettez l'avis "à corriger" car il semble que le problème que j'ai partagé provenait d'un examen valable jusqu'à fin décembre. 

    Donc, ce problème (je l'ai traité moi-même) ne devrait pas être discuté pour le moment. Encore désolé, il était de mon devoir de savoir d'où venaient les problèmes. Je serai plus prudent.

    Merci 
  • evariste21
    evariste21
    Modifié (December 2021)
    P.S. Au fait, j'ai suivi l'aimable suggestion de Guego et je pense avoir une solution complète au problème.
    Merci.
  • Laborieux
    Laborieux
    @AD merci !
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