Probabilité de $\limsup$
Bonjour, je suis en L3 de mathématiques et je réfléchis actuellement à la solution d'un exercice assez compliqué selon moi. Voici son énoncé .
Je sais qu'il faut utiliser la loi du tout ou rien de Borel pour déduire ce résultat mais pour cela, il faudrait être en mesure de dire si la série somme P(AK) converge. Si elle converge alors la probabilité de limsup donne 0 sinon 1.
Le problème, c'est que je n'arrive pas à trouver l'expression de $P(A_k)$.
Lorsque je regarde l'événement $A_2$ par exemple, il s'agit de trouver la probabilité pour que 2 "face" apparaissent consécutivement aux lancers 2 et 3.
Donc j'ai
$P(A_2)= 2p$
Je sais qu'il faut utiliser la loi du tout ou rien de Borel pour déduire ce résultat mais pour cela, il faudrait être en mesure de dire si la série somme P(AK) converge. Si elle converge alors la probabilité de limsup donne 0 sinon 1.
Le problème, c'est que je n'arrive pas à trouver l'expression de $P(A_k)$.
Lorsque je regarde l'événement $A_2$ par exemple, il s'agit de trouver la probabilité pour que 2 "face" apparaissent consécutivement aux lancers 2 et 3.
Donc j'ai
$P(A_2)= 2p$
Pour l'événement $A_3 $: "Face" apparaît 3 fois consécutivement aux lancers 8,9,10,11,12,13,14 et 15.
Donc
$P(A_3)= 6*p^3 $ (6 c'est le nombre de manières possibles d'obtenir 3 "face" au cours des 8 lancers).
En généralisant je trouve $P(A_k)= k(k-1)p^k$.
Est-ce que cette probabilité est juste ? J'ai vraiment un doute. Ensuite, en supposant que ce soit juste, comment déduire que cette série converge ou diverge selon p ?
Merci beaucoup.
Donc
$P(A_3)= 6*p^3 $ (6 c'est le nombre de manières possibles d'obtenir 3 "face" au cours des 8 lancers).
En généralisant je trouve $P(A_k)= k(k-1)p^k$.
Est-ce que cette probabilité est juste ? J'ai vraiment un doute. Ensuite, en supposant que ce soit juste, comment déduire que cette série converge ou diverge selon p ?
Merci beaucoup.
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Réponses
- pour $A_2$ il y a $2^2-1=3$ possibilités d'obtenir 2 faces consécutives ;
- pour $A_3$, il y a $2^3-2 = 6$ possibilités de tirer 3 faces consécutives...
En généralisant j'obtiens finalement que
$P(A_k)=\left( 2^k - (k-1)\right) p^k$
En prenant la somme membre à membre, je trouve la somme de 3 séries :$$\sum_{k>0} P(A_k)=\sum_{k>0} (2p)^k -\sum_{k>0} kp^k +\sum_{k>0} p^k. $$Puisque les 2 dernières séries convergent quelques soit $p$, alors la convergence de la série de terme général $P(A_k)$ ne dépend que de la série de terme général $(2p)^k$.
Si $p>=1/2$, cette série diverge (série géométrique de raison >1) donc $P(\limsup A_k)=1$
Si $p<1/2$, cette série convergence donc $P(\limsup A_k) = 0$
Est-ce que cette tentative de solutions est juste ?
$P(A_3)$ n'est pas bon non plus.
Pour s'en rendre compte, on va modifier un peu l'énoncé. On va s'intéresser à une autre question plus facile. On lance un dé $4$ fois de suite (et non $8$ fois comme dans l'exercice), et on veut connaitre la probabilité d'avoir au moins $3$ Face consécutifs.
Si j'applique ton raisonnement, on a $2 \times p^3$
En fait, pour avoir $3$ Faces consécutifs, il faut que les lancers n°2 et n°3 donnent Face, (Proba= $p^2$) et il faut qu'au moins $1$ des $2$ autres lancers donne Face. proba = $2 p$ ? non
Quand il y a au-moins dans un énoncé de proba, attention, il vaut mieux chercher la proba complémentaire.
Quelle est la probabilité que ni le 1er lancer, ni le 4ème donne face : $(1-p)^2$
Et donc pour notre question, quand on a 4 lancers, la proba d'avoir au moins $3$ Faces consécutivement n'est pas $2 p^3$ mais $2 p^3 -p^4$.
Si on revient à l'exercice lui-même, je n'ai pas la formule pour la probabilité d'avoir $3$ Faces consécutivement quand on fait $8$ lancers, mais ce n'est pas $6 p^3$.
Tu as énormément de double-comptes.
Effectivement mon calcul de $P(A_k)$ était totalement faux.
lourrran je ne comprends pas comment tu as obtenu $2p^3-p^4$
J'ai du faire une erreur lors de la création de mon compte et j'ai du en créer plusieurs. Je vais supprimer tous les autres.
LOU16 Dans le cas $p<1/2$, pourrais-je savoir comment obtenir cette majoration ?
Deuxième façon : plus terre à terre
La proba d'avoir au moins $3$ Face consécutifs en lançant $4$ fois de suite une pièce, c'est la proba d'avoir Face aux $3$ premiers lancers ($p^3$) , plus la proba d'avoir face aux $3$ derniers lancers ($p^3$) , moins les cas comptés $2$ fois, c'est à dire la proba d'avoir $4$ fois Face ($p^4$)
Résultat $= p^3+p^3- p^4$
Mais comme dit Lou16, on est hors-sujet ; on n'a pas besoin de ces calculs pour la résolution de l'exercice (...je répète , je lui fais confiance)