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Problème de Cauchy

ccapucineccapucine
Modifié (November 2021) dans Analyse
Bonjour,
soient $a$ et $b$ deux fonctions continues sur un intervalle $I$ de $\mathbb{R}$.
On considère le problème de Cauchy $$
\begin{cases}
y'=a(x)y+b(x),\\
y(x_0)=y_0
\end{cases}
$$Comment prouver que ce problème admet une solution unique sur l'intervalle $I$ sans appliquer directement le théorème de Cauchy Lipschitz ?
Merci d'avance pour votre aide.

[Augustin Louis Cauchy (1789-1857) et Rudolph Lipschitz (1832-1903) ont droit au respect de leur patronyme. AD]

Réponses

  • bd2017bd2017
    Bonjour
    Il suffit de démontrer que $y'= a(x) y(x)   , y(x_0)=0$  implique $y=0$
     
  • ccapucineccapucine
    Je ne comprends pas le lien entre y=0 est solution de $y'=a(x)y(x), y(x_0)=0$ est le problème admet une solution unique sur l'intervalle $I$. Quel est ce lien?
  • raoul.Sraoul.S
    Le lien est que si $y_1,y_2$ sont deux solutions de ton problème initial alors $y_2-y_1$ est une solution du problème donné par bd2017, qui impliquerait donc que $y_2-y_1=0$ et $y_2=y_1$. Bref l'unicité quoi. 
  • ccapucineccapucine
    D'accord. Comment démontrer que l'unique solution de $y'=a(x)y=0, y(x_0)=y_0$ est $y=0$ sans appliquer Cauchy Lipschitz? Aussi pour l'existence qu'est ce qu'on peut dire?
  • raoul.Sraoul.S
    Modifié (November 2021)
    Pour démontrer que $y'= a(x) y(x), y(x_0)=y_0$ n'a qu'une solution sans utiliser Cauchy, tu peux commencer par démontrer l'existence.

    Deux possibilités :

    1) tu peux diviser par $y$ à gauche et à droite pour obtenir $\dfrac{y'(x)}{y(x)}=a(x)$ puis intégrer... L'expression $\dfrac{y'(x)}{y(x)}$ devrait t'inspirer.

    2) Tu peux y aller à la physicienne 🤮 : $dy=a(x)y(x)dx$ puis  $\dfrac{dy}{y}=a(x)dx$ et intégrer.

    Remarque : pas besoin de s'occuper des problèmes de division par zéro. Il suffit de trouver une expression pour $y$ puis de vérifier que c'est effectivement une solution.
  • ccapucineccapucine
    raoul.S et dans le cas où l'on a $y'=a(x)y+b(x), \ y(x_0)=y_0$ comment on fait pour montrer l'existence sans Cauchy Lipschitsz? Stp
  • raoul.Sraoul.S
    Soit tu devines la solution soit tu peux utiliser ce que j'ai dit ci-dessus https://les-mathematiques.net/vanilla/index.php?p=/discussion/comment/2329868/#Comment_2329868
  • ccapucineccapucine
    Modifié (November 2021)
    On ne peut pas utiliser la même chose vu qu'il y a le b(x) donc ça ne donne rien de diviser sur $y(x)$.
    Par contre on peut, il me semble, utiliser la méthode du facteur intégrant pour trouver une solution.
    Pour l'unicité, comme cela a été dit, on montre que le problème $y'=a(x) y, \ y(x_0)=0$ admet $y=0$ comme solution.
    On remarque que $y=0$ est une solution. Mais comment montrer que ce problème n'admet d'autres solutions ?
  • gebranegebrane
    L’équation 
    y'=a(x)y+b(x), \ y(x_0)=y_0
    est linéaire. On sait la résoudre par la méthode de la variation des constantes qui donne $ y(x)=e^{A(x)-A(x_0)}y_0+e^{A(x)}\int_{x_0}^x e^{-A(x)} b(x) dx$ où A est une primitive de a
    Le 😄 Farceur


  • raoul.Sraoul.S
    Modifié (November 2021)
    ccapucine  Oui je n'avais pas vu ton $b(x)$. Oui tu peux utiliser le facteur intégrant ou la variation de la constante et tu tombes sur la solution de gebrane ci-dessus.
    Pour l'unicité, tu supposes que $\phi$ est une solution de $y'=a(x) y,\ y(x_0)=0$ et tu considères la fonction  $g$ définie par $g:x\mapsto e^{-A(x)}\phi(x)$ (voir notations de gebrane ci-dessus). Calculer $g'$ et conclure.
  • bisambisam
    @ccapucine : Tu n'as pas précisé dans quel espace vectoriel arrivaient les fonctions $a$, $b$ et $y$.
    • Si c'est $\R$ ou $\C$, on peut faire comme cela a été suggéré plus haut, en exhibant une solution particulière.
    • Si c'est un $\R$ ou un $\C$ espace vectoriel de dimension finie, la même méthode fonctionne mais suppose de connaître les propriétés d'intégration de fonctions à valeurs vectorielles ainsi que l'exponentielle de matrices. Comme ces deux notions ne sont au programme que de la filière MP (et pas des PSI, PC ou PT), elles sont en général occultées au profit du théorème de Cauchy-Lipschitz (ou plus précisément de la version linéaire de ce théorème, qui est bien plus simple !).
    La question est donc : pourquoi veux-tu éviter l'application de ce théorème ?
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