Une inégalité

Imi · November 2021

Salut
Est-ce que il existe une constante $c$ telle que :
$$\big\|\|u_1\|^{m-1}u_1-\|u_2\|^{m-1}u_2\big\|\leq c\|u_1-u_2\|,\qquad \forall u_1, u_2 \in \mathbb{R}^d,\ 0<m\leq1.$$

gerard0 · November 2021

Bonsoir.

Bizarre de ne pas avoir factorisé $u$ !

Cordialement.

Imi · November 2021

Oui .;. j'ai oublié de mettre les indices donc j'ai modifié la question.

gerard0 · November 2021

Il est souvent intéressant de commencer par regarder ce qui se passe en dimension d=1. Tu peux essayer avec $m=\frac 1 2$.

Imi · November 2021

Il est correcte en dimension 1 avec $m=\frac{1}{2}$.

YvesM · November 2021

Bonjour
Essaie avec $||u_1||=1,\ u_2=x u_1$ avec $x$ un réel.

Je trouve que $c$ n’existe pas dans ce cas quand $x$ tend vers $0.$ À vérifier.

gerard0 · November 2021

L'existence de $C$ en dimension 1 pour $m=\frac 1 2$ prouverait que la fonction racine carrée est lipschitzienne, ce qui est faux. Donc tu as parlé sans preuve quand tu disait "Il est correcte en dimension 1 avec $m=\frac 1 2$".

Si tu as une preuve de ce que tu avançais, montre-la.

Cordialement.