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Croissance de la suite de Fibonacci

SylvainSylvain
Modifié (November 2021) dans Analyse
Bonjour,
j'aimerais savoir si le fait que la suite de Fibonacci croisse essentiellement comme une suite géométrique de raison $\varphi=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ est lié au fait qu'il existe un entier $n$ autre  que $0$ et $1$, en l'occurrence $5$, qui soit invariant sous l'application $F:m\mapsto F_{m}$.
Merci et bonne fin de journée.

Réponses

  • ChaurienChaurien
    Je ne vois pas le rapport.
  • gerard0gerard0
    Modifié (November 2021)
    Bonsoir.
    A priori non, puisque tu peux définir la suite par :  $F_0=1,\ F_1 = 1,\ F_2 = 2, ...$, et que dans ce cas, ce sont 1, 2 et 3 les indices qui donnent une valeur égale.
    En fait, cette progression est valable pour toute suite positive $U$ telle que pour tout entier n, $U_{n+2}=U_{n+1}+U_{n}$, quels que soient les deux premiers termes. Et cela provient de l'équation caractéristique, $r^2-r-1=0$.
    Cordialement.
  • ChaurienChaurien
    Modifié (November 2021)
    La croissance géométrique de la  suite de Fibonacci provient de son expression par la formule de Binet. Par un décalage d'indice, cette suite garderait la même croissance et pourrait perdre toute invariance.
    La suite de Lucas classique n'a que l’invariance $1\mapsto 1$ par $m\mapsto L_m$, et pourtant elle a aussi une croissance géométrique. Et on pourrait multiplier les exemples de suites à récurrence linéaire d'ordre 2.
  • Math CossMath Coss
    Modifié (November 2021)
    gerard0 a dit :
    En fait, cette progression est valable pour toute suite positive $U$ telle que $U_{n+2}=U_{n+1}+U_{n}$...
    Plutôt presque toutes (pour certaines valeurs initiales, la suite tend vers zéro).
  • SylvainSylvain
    Merci à tous.
  • gerard0gerard0
    Modifié (November 2021)
    Bonjour Mathcoss.
    Tu as un exemple pour une suite positive, autre évidemment que la suite nulle ?
    (j'ai rajouté un "pour tout entier n").
    Cordialement.
  • ChaurienChaurien
    Modifié (November 2021)
    Positive, bien évidemment non, puisqu'une suite positive vérifiant  $ u_{n+2}=u_{n+1}+u_n$  est croissante.
    Mais $u_n=\big(\frac {1-\sqrt 5}2\big)^n$ vérifie bien $ u_{n+2}=u_{n+1}+u_n$ et a pour limite $0$.
  • gerard0gerard0
    Modifié (November 2021)
    Oui, c'est bien pourquoi j'avais tout de suite rajouté "positive" dans mon message. Comme l'a copié Math Coss.
    Cordialement.
  • Math CossMath Coss
    Tu as raison, j'ai réagi trop vite.
  • gerard0gerard0
    Ce n'est pas grave, on aime tous bien titiller les autres ;)
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