Somme des diviseurs d'un entier

Bonjour à tous ! 
J'ai rencontré quelques problèmes sur les notes de mon professeur et j'aimerais avoir un peu plus d'éclairage par rapport ! 
L'idée est de fabriquer des nombres tels que la somme de leurs diviseurs soit un carré parfait ! 
Et après faire une généralisation. 

Pour cela il commence par considérer ces quelques cas. 
Si on note par $p(n)$ la somme des diviseurs de $n$, alors 
$p(2)=3,  p(3)=2^{2},  p(5)=2\times3,  p(7)=2^{3} , p(11)=2^{2}\times3,  p(13)= 2\times 7,  p(17)= 2 \times 3^{2},  p(19)= 2^{2} \times 5,  p(23)= 2^{}3 \times 3$.
En utilisant l'une des propriétés de la fonction $p$ qui est $p(mn)=p(m)p(n)$ si $n$ premier avec $m$, alors on peut construire des différents produits tels que le résultat soit un carré parfait ! 
Par exemple $p(22)=p(2)p(11)=2^{2} \times 3^{2}.$
Ce que je ne comprends pas c'est quand il fait le comptable de toutes les combinaisons possibles du produit de ces 9 termes telles que la somme des puissances du résultat soit congrue à 0 modulo 2. 
Il dit que le nombre de ce type de combinaisons est de $2^{5}-1$. 
Pour cela, il écrit chaque terme des $p(n)$ sous cette forme $2^{a}\times3^{b}\times 5^{c}\times7^{d}$. Et ensuite il dit qu'il regarde juste les quadruplets $(a,b,c,d)$ et s'intéresse au sous-espace tel que la somme de ces vecteurs soit congrue à $(0,0,0,0) \mod 2$. 
Je n'arrive pas comment comment il utilise tout cela pour obtenir le résultat $2^{5}-1.$