Présentation d'un groupe par générateurs et relations

Je ne vois pas très bien comment directement décrire un isomorphisme d'un espace quotient vers un autre. Ici mon idée était d'utiliser le théorème d'isomorphisme: On a que $F(\{t,s\})/\ker \varphi\simeq F(\{t\})$. Il reste donc à montrer que $\langle \langle \{ts^{-1}\}\rangle \rangle = \ker \varphi$. Comme je l'ai dit, on observe que $\langle \langle \{ts^{-1}\}\rangle \rangle \triangleleft \ker \varphi$, il reste simplement l'autre inclusion que je ne vois pas très bien...

Je ne vois pas du tout comment travailler avec cette propriété. Cette propriété est en fait présente dans mon cours mais dans la partie "groupes libres", avant les présentations de groupe. Dans mon cours, un groupe $G$ admet la présentation $G=\langle E\mid R\rangle$ (où $E$ est un ensemble et $R\subset F(E)$) si $G\simeq F(E)/\langle \langle R\rangle \rangle$. Je suis curieux de voir comment travailler avec la propriété universelle, je ne vois pas du tout comment faire le lien, est-ce que tu pourrais détailler s'il te plaît?

Je comprends la démarche intuitive mais je n'arrive pas à lier avec la propriété universelle: Qui est $G$, qui est $H$, quel est le morphisme? Il me faudrait quelque chose de formel au moins une fois...

Les deux morphismes que tu utilises dans ce message ne font aucunement appel à la propriété universelle on est d'accord? Cette manière de définir ces morphismes peut m'aller à la limite mais il y a quand même le petit fait suivant qui me dérange toujours un peu: Il s'agit fondamentalement de morphismes entre espaces quotients et on n'est pas 100% sûr qu'ils sont donc bien définis, c'est pourquoi j'aurais préféré le théorème d'isomorphisme. Concernant $H=\langle t,u\mid tu\rangle$ il suffit de faire la même chose mais juste en envoyant $u$ sur $t^{-1}$.

À quoi sert globalement cette propriété universelle si ce n'est juste dire qu'il existe un morphisme qui associe chaque générateur des deux groupes entre eux? La propriété universelle est bien présente dans mon cours mais il n'est pas question de relation ni même de présentation. Ce morphisme (d'après mon cours) existe en fait toujours même en supprimant l'hypothèse sur les relations.

Je dirais que non car $0=\varphi(e)=\varphi(tu)=\varphi(t)\varphi(u)=0+1=1$. Pourtant, je n'invente rien, voici ce qu'il y a dans mon cours:

Propositon (Propriété universelle des groupes libres)

Soit $K$ un groupe, $f_\alpha\in K,\alpha\in J$. Alors, il existe un unique homomorphisme $\phi:F_J\to K$ tel que $f_\alpha=\phi(k(\alpha))$.
Notations:

• $J$ est un ensemble quelconque, $F_J=\ast_{\alpha\in J}\mathbb Z$ où $\mathbb Z\simeq \{t^n\mid n\in \mathbb Z\}=\langle t\rangle$
• $k:J\to F_J,\alpha\mapsto t_\alpha$ (le générateur correspondant à $\alpha$)

Mon prof l'a appelé "propriété universelle des groupes libres" et a dit que c'était une conséquence du théorème suivant:

Théorème (Propriété universelle du produit libre)

Soit $K$ un groupe, $\varphi_\alpha:G_\alpha\to K,\alpha \in J$ un homomorphisme. Alors, il existe un unique homomorphisme $\phi:\ast_{\alpha\in J}G_\alpha\to K$ tel que$\varphi_\alpha=\phi\circ j_\alpha$.
Notations:

• $J$ est un ensemble quelconque, $G_\alpha$ sont des groupes
• $j_\alpha:G_\alpha\to \ast_{\alpha\in J}G_\alpha,g\mapsto g$ l'homomorphisme d'inclusion

Dans mon cours il n'y a pas de propriété universelle par rapport aux présentations, il n'y a que la définition par rapport au quotient.
D'ailleurs je trouve qu'il reste quand même un problème dans l'exemple que tu m'as cité, pourquoi ça ne marche pas ?

Oui j'ai bien lu j'ai juste dit que je n'avais pas vu cette propriété universelle en particulier et que la première proposition que j'ai postée me paraissait identique mais peut-être que non.

Merci beaucoup c'est très clair!