Présentation d'un groupe par générateurs et relations
Bonjour, notons par $F(\{t\})$ le groupe libre à un générateur $t$. J'aimerais comprendre pourquoi $F(\{t\})$ admet la présentation $\langle t,s\mid ts^1\rangle$. Donc il faudrait montrer que $F(\{t\})\simeq F(\{t,s\})/\langle \langle \{ts^{-1}\}\rangle \rangle$ où $\langle \langle \{ts^{-1}\}\rangle \rangle\triangleleft F(\{t,s\})$ désigne le sous-groupe normal de $F(\{t,s\})$ engendré par $\{ts^{-1}\}\subset F(\{t,s\})$.
J'écris l'homomorphisme suivant. $$\begin{array}{crcl}\varphi:&F(\{t,s\})&\longrightarrow &F(\{t\})\\ &t^{n_1}s^{m_1}t^{n_2}s^{m_2}\cdots s^{m_l}&\longmapsto& t^{n_1}t^{m_1}t^{n_2}t^{m_2}\cdots t^{m_l}=t^{n_1+\cdots +m_l}\end{array}$$ On observe que effectivement, $ts^{-1}\in \ker \varphi$ et donc aussi que $\langle \langle \{ts^{-1}\}\rangle \rangle \triangleleft \ker \varphi$. Mais comment montrer l'autre inclusion ? Je ne la vois pas vraiment... Merci pour votre aide.
J'écris l'homomorphisme suivant. $$\begin{array}{crcl}\varphi:&F(\{t,s\})&\longrightarrow &F(\{t\})\\ &t^{n_1}s^{m_1}t^{n_2}s^{m_2}\cdots s^{m_l}&\longmapsto& t^{n_1}t^{m_1}t^{n_2}t^{m_2}\cdots t^{m_l}=t^{n_1+\cdots +m_l}\end{array}$$ On observe que effectivement, $ts^{-1}\in \ker \varphi$ et donc aussi que $\langle \langle \{ts^{-1}\}\rangle \rangle \triangleleft \ker \varphi$. Mais comment montrer l'autre inclusion ? Je ne la vois pas vraiment... Merci pour votre aide.
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Réponses
À quoi sert globalement cette propriété universelle si ce n'est juste dire qu'il existe un morphisme qui associe chaque générateur des deux groupes entre eux? La propriété universelle est bien présente dans mon cours mais il n'est pas question de relation ni même de présentation. Ce morphisme (d'après mon cours) existe en fait toujours même en supprimant l'hypothèse sur les relations.
Propositon (Propriété universelle des groupes libres)
Soit $K$ un groupe, $f_\alpha\in K,\alpha\in J$. Alors, il existe un unique homomorphisme $\phi:F_J\to K$ tel que $f_\alpha=\phi(k(\alpha))$.Notations:
- $J$ est un ensemble quelconque, $F_J=\ast_{\alpha\in J}\mathbb Z$ où $\mathbb Z\simeq \{t^n\mid n\in \mathbb Z\}=\langle t\rangle$
- $k:J\to F_J,\alpha\mapsto t_\alpha$ (le générateur correspondant à $\alpha$)
Mon prof l'a appelé "propriété universelle des groupes libres" et a dit que c'était une conséquence du théorème suivant:Théorème (Propriété universelle du produit libre)
Soit $K$ un groupe, $\varphi_\alpha:G_\alpha\to K,\alpha \in J$ un homomorphisme. Alors, il existe un unique homomorphisme $\phi:\ast_{\alpha\in J}G_\alpha\to K$ tel que$\varphi_\alpha=\phi\circ j_\alpha$.Notations:
D'ailleurs je trouve qu'il reste quand même un problème dans l'exemple que tu m'as cité, pourquoi ça ne marche pas ?
Si j'essaie directement d'établir l'isomorphisme entre l'espace quotient en utilisant le 1er théorème d'isomorphisme comme avant, je me retrouve coincé encore une fois:$$\begin{align*}\varphi:F(E) &\to \mathbb Z^2\\ a &\mapsto (1,0)\\ b &\mapsto (0,1)\\ \varnothing &\mapsto (0,0)\end{align*}$$Alors on voit que $aba^{-1}b^{-1}\in \ker \varphi$ et donc que le sous-groupe normal engendré $\langle \langle \{aba^{-1}b^{-1}\}\rangle \rangle \triangleleft \ker \varphi$, mais je ne vois pas comment faire l'autre inclusion...