Une relation
Bonjour,
1. ABC un triangle,
2. (O) le cercle circonscrit,
3. I le centre du cercle inscrit,
4. Pi la parallèle à (BC) issue de I,
5. P, S les points d'intersection de Pi avec 0 comme indiqués sur la figure
6. Q, R les points d'intersection de Pi resp. avec (AB), (AC).
Question : AC/IS – PQ/QI = 1.Merci pour votre aide, je n'arrive pas à convertir le fichier...
Sincèrement
Jean-Louis.
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Réponses
merci pour votre aide et amélioration de la figure...
Avez-vous une idée d'une preuve synthétique? c'est possible...
Je rappelle que Q n'est pas le point de contact du cercle inscrit avec (AB)...
Sincèrement
Jean-Louis
Cette propriété est partagée par les autres points du cercle $(ABI_0)$
Cordialement, Pierre.
Une solution en barycentriques:
Rescassol
Sincèrement
Jean-Louis
Voici la figure de Pierre!
Elle devrait nous suggérer une preuve synthétique!
Amicalement
pappus
Le cercle inscrit est un attrape-nigaud!
Amicalement
pappus
Les points $A$ et $B$ sont situés sur le cercle $\Gamma$.
Le point $\Omega$ est une des deux intersections de la médiatrice de $AB$ avec $\Gamma$.
Le cercle $\gamma$ est le cercle de centre $\Omega$ passant par $A$ et $B$.
Enfin $C$ est un point quelconque de $\Gamma$.
Le point $I$ est sur $\gamma$ et on évalue la différence des puissances du point $I$ par rapport aux cercles $\Gamma$ et $\gamma$.
$$\Gamma(I)-\gamma(I)=2\overline{IJ}.\overline{\Omega O}$$
$J$ est la projection orthogonale de $I$ sur l'axe radical $AB$ de ces deux cercles.
Cette formule était enseignée autrefois, voir le Lebossé-Hémery, page=186, article 291
Aujourd'hui on se doute bien qu'on en a plus rien à cirer!
On passe aux valeurs absolues : $$\vert\Gamma(I)\vert=IP.IS$$ $$\gamma(I)=0$$ $$IJ=IQ\sin(B)$$Là on tourne autour de l'axiome de Pythagore et de la définition élémentaire des lignes trigonométriques.
Sans doute la seule ligne de ma preuve qui devrait être comprise!
D'où:
$$IP.IS=IQ.2R\sin(B)=IQ.AC$$
d'après la défunte loi des sinus.
Amicalement
pappus
c'est avec beaucoup de plaisir que j'ai lu ta preuve...j'ai aussi apprécié ta référence au Lebossé-Hemery qui m'a rappelé de beaux souvenirs de cette géométrie enseignée en terminales...
Pour ma part, dans ma preuve que je vous soumettrai, je suis passé par le lemme de Haruki et de Reim...
J'observe que tu nous rappelles souvent et à forte raison, la dégringolade qu'a subi la géométrie en mon de demi-siècle...les IPR et IG ne sont pas neutre dans cet état de fait ; ils nous ont tant vanté les mérites supposés des nouveaux programmes imposés...
Le retour en arrière est impossible...alors, il ne reste plus aux jeunes enseignants que de glousser sur Thalès et Pythagore...
There is much more to say...
Avec toutes mes amitiés
Jean-Louis