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Famille libre et logique

OShineOShine
Modifié (November 2021) dans Algèbre
Bonsoir
Une question sûrement bête mais je n'arrive pas à trouver la réponse.
Soit $E$ un espace vectoriel normé et $x,y \in E$. Si $(x,y)$ est libre alors $\forall \lambda \in [0,1] ,\ \lambda x+ (1-\lambda) y \ne 0$
Je n'arrive pas à le montrer.
Si $(x,y)$ est libre alors $\forall \lambda \in [0,1] ,\ \ \lambda x + (1- \lambda)y =0 \implies \lambda=0=1$

Réponses

  • PoirotPoirot
    Absolument délirant que tu enseignes les maths.
  • solsol
    Mot-clé : contraposée.
  • OShineOShine
    Modifié (November 2021)
    S'il existe $\lambda \in [0,1]$ tel que $\lambda x +(1- \lambda) y=0$.
    Alors $\lambda x = (\lambda-1) y$ ainsi $x$ et $y$ sont proportionnels et $(x,y)$ est une famille liée.
    Par contraposée on a le résultat. 
    Poirot j'ai écrit quoi de délirant ?
  • solsol
    Ce qui est délirant c'est que tu démontres $A \implies (0 = 1)$, mais que tu n'arrives pas à prouver $\text{non}(A)$.
  • OShineOShine
    Modifié (November 2021)
    Sol oui c'est vrai merci.
  • Georges AbitbolGeorges Abitbol
    Modifié (November 2021)
    OShine a dit :
    S'il existe $\lambda \in [0,1]$ tel que $\lambda x +(1- \lambda) y=0$
    Alors $\lambda x = (\lambda-1) y$ ainsi $x$ et $y$ sont proportionnels et $(x,y)$ est une famille liée.
    Si tu écris $\exists \lambda$ dans une phrase, puis que dans la phrase suivante, tu parles d'un $\lambda$, tu as conscience qu'on ne sait pas qui est $\lambda$ ?
  • OShineOShine
    Je dois récrire il existe lambda ? 
  • JLapinJLapin
    Modifié (November 2021)
    OShine a dit :
    Poirot j'ai écrit quoi de délirant ?
    Tu as écris "je n'arrive pas à le montrer".
  • Georges AbitbolGeorges Abitbol
    Modifié (November 2021)
    OShine a dit :
    Je dois récrire il existe lambda ? 
    OShine, je ne sais pas ce que tu dois faire ; je te dis juste que ta phrase a un problème.
    Tiens, voici un exemple. Notons $P(x)$ la phrase "$x$ est divisible par $4$".
    Voici deux paragraphes :
    1) Il existe un entier $x$ tel que $P(x)$. Donc $x$ est pair.
    2) Il existe un entier $y$ tel que $P(y)$. Donc $x$ est pair.
    Bien sûr, ces deux paragraphes veulent dire la même chose, puisqu'on peut changer le nom d'une variable quantifiée, si on le fait bien pour chaque occurrence de cette variable dans toute la phrase concernée par le quantificateur (et qu'on ne choisit pas une lettre déjà utilisée !).
    Ta phrase où apparaissait le symbole $\lambda$ ressemble à la phrase 1) ci-dessus. Pourtant, tu vois bien, dans sa version équivalente 2), que $x$ arrive "comme un cheveu sur la soupe", i.e. n'a pas été introduit, ou encore est une variable libre.
    En tout cas, je te fais seulement cette remarque pour que tu progresses un peu en logique ; mais ce n'est pas forcément pertinent si ce qui t'intéresse, ce sont les familles libres.
  • ChalkChalk
    Modifié (November 2021)
    Si, c'est pertinent, car ses erreurs les plus graves et les plus constantes sont en logique, et ça explique la majorité de ses difficultés à résoudre des exos simples y compris de niveau collège parfois.

    Ce fil en témoigne une fois de plus, des notions "avancées" d'espace vectoriel mais des problèmes de logique niveau collège.
  • Georges AbitbolGeorges Abitbol
    Modifié (November 2021)
    De ce point de vue-là, je suis d'accord ; mais cette "erreur" est en fait assez répandue, même chez des personnes compétentes. On peut entendre dans la bouche de personnes très sérieuses des choses comme "s'il existe $x$ tel que $P(x)$ alors il est unique" alors que clairement, la personne voulait dire "pour tout $y,z$, si $P(y)$ et $P(z)$, alors $y=z$". Si on perçoit que c'est un abus de langage, ou si on comprend implicitement ce que la personne veut dire, c'est inoffensif ; mais si on est un peu analphabète en logique (et OShine, sans jugement de valeur ni intention de te blesser, c'est souvent ce que tu montres être - et je te dis ça dans l'espoir que tu prennes conscience de ce problème) je peux tout à fait comprendre qu'on puisse tomber dans ce piège par mimétisme.
  • OShineOShine
    Georges Abitbol d'accord merci. 
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