Surfaces régulières

evariste21 · November 2021

Bonjour
Problème. Soit $U=\left\{(u,v)\in \mathbb{R}^{2}: u,v\in ]-\pi; \pi[ \right\}$ et
\begin{array}{cccl}
\varphi: &U &\longrightarrow& \mathbb{R}^{3}\\
&(u,v)&\longmapsto& \varphi(x,y)=\left(x(u,v),y(u,v),z(u,v)\right),
\end{array} avec $(u,v)\mapsto x(u,v)=(2+\cos u)\cos v$, $(u,v)\mapsto y(u,v)=(2+\cos u)\sin v$ et $(u,v)\mapsto z(u,v)=\sin u$.

Vérifiez que $(U,\varphi)$ est un système de coordonnées pour le tore $\mathbb{T}^{2}$.
Trouver d'autres systèmes de coordonnées pour compléter un atlas de $\mathbb{T}^{2}$.
Calculez $\varphi_{1},\varphi_{2}$ et $\mathbb{n}$ en fonction de $u$ et $v$.

Héhéhé · November 2021

Bonjour
qu'as-tu fait ? Où bloques-tu ?

evariste21 · November 2021

Bonjour, je travaille lentement sur ces questions.
Je sais que

On veut montrer que $(U,\varphi)$ est un système de coordonnées pour le tore $\mathbb{T}^{2}=\varphi(U)$.

Maintenant, par définition, pour prouver que $(U,\varphi)$ est un système de coordonnées pour $\varphi(U)$, nous devons prouver les propriétés suivantes.

$\varphi$ is différentiable: $x,y,z\in \mathcal{C}^{+\infty}(U)$
$\varphi$ est un homéomorphisme. $\varphi^{-1}$ est continue.
(condition de régularité) si la différentielle de $\varphi$ en chaque point de $U$ est de rang $2$. La matrice de la différentielle de $\varphi$,

$$D\varphi (u,v)=\begin{bmatrix} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v}\\ \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v}\\ \frac{\partial z}{\partial u} & \frac{\partial z}{\partial v}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} -\sin(u)\cos(v) & -(2+\cos(u))\sin (v)\\ -\sin (u) \sin (v) & (2+\cos u)\cos (v)\\ \cos (u) & 0\end{bmatrix}$$

Maintenant, pour vérifier qu'il est de rang deux, je pensais à la méthode d'élimination de Jauss Gauss. Cependant, cette méthode semble lourde pour travailler avec ce type de matrices à entrées trigonométriques. Donc,

Ma solution pour la partie 1) est-elle correcte ?

Existe-t-il un moyen de conclure que la matrice est de rang $2$ sans utiliser la méthode gaussienne ?

Je ne sais pas comment commencer pour la partie 2.

Toutes les suggestions sont les bienvenues

Merci.

Rescassol · November 2021

Bonjour
> Je pensais à la méthode d'élimination de Jauss

Jauss ?
Pour éliminer quoi entre quelles équations ?
Il y a trois déterminants d'ordre 2 faciles à calculer.
Quelle que soit la méthode adoptée, tu te doutes bien qu'il faudra tremper ton nez dans la trigo.
Cordialement,
Rescassol

evariste21 · November 2021

Rescassol
L'élimination gaussienne, il semble que je me sois endormi au clavier.

evariste21 · November 2021

Ensuite,
$$\frac{\partial(y,z)}{\partial (u,v)}= \begin{bmatrix}-\sin(u)\sin(v) & (2+\cos(u))\cos(v)\\ \cos(u) & 0 \end{bmatrix}\implies \left| \frac{\partial(y,z)}{\partial (u,v)}\right|=-\cos(u)\cos(v)(2+\cos(u))$$ $$\frac{\partial(x,z)}{\partial (u,v)}= \begin{bmatrix} -\sin(u)\cos(v) & (2+\cos(u))\cos(v)\\ \cos(u) & 0 \end{bmatrix} \implies \left| \frac{\partial(x,z)}{\partial (u,v)}\right|=-\cos(u)\sin(v)(2+\cos(u))$$ $$\frac{\partial(x,y)}{\partial (u,v)}=\begin{bmatrix}-\sin(u)\cos(v) & -(2+\cos(u))\sin(v)\\ -\sin(u)\sin(v) & (2+\cos(u))\cos(v) \end{bmatrix}$$ $$\implies \left| \frac{\partial(x,y)}{\partial (u,v)}\right|=-(2+\cos(u))\cos(v)\sin(u)\cos(v)-(2+\cos(u))\sin(v)\sin(v)\sin(v)$$ Il suffit que l'un de ces mineurs de degré $2$ soit non nul dans $U$ et c'est le cas pour le troisième déterminant d'ordre $2$ calculé. Par conséquent, le rang de la matrice est $2$ et le résultat de la partie 1 suit.

evariste21 · November 2021

Comment puis-je résoudre la deuxième partie du problème ?

evariste21 · November 2021

Pour une surface avec une paramétrisation $\varphi(u,v)$, le vecteur normal est donné par
$$\mathbf{N}=\frac{\partial \mathbf{x}}{\partial u}\wedge \frac{\partial \mathbf{x}}{\partial v}=\begin{bmatrix} \begin{vmatrix} \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} \\ \frac{\partial z}{\partial u} & \frac{\partial z}{\partial v}\end{vmatrix}\\\textcolor{red}{-}\begin{vmatrix} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} \\ \frac{\partial z}{\partial u} & \frac{\partial z}{\partial v}\end{vmatrix}\\ \begin{vmatrix} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} \\ \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v}\end{vmatrix} \end{bmatrix}$$ $$\implies \mathbf{N}=\begin{bmatrix} -\cos(u)(2+\cos(u))\\ \cos(u)\sin(v)(2+\cos(u))\\ -\sin(u)\cos^{2}(v)(2+\cos(u))-\sin(u)\sin^{2}(v)(2+\cos(u))\end{bmatrix}\in \mathbb{R}^{3}$$ Ceci conclut la partie $3$.