Existe-t-il une démonstration pour $$B_{2n} \sim (-1)^{n-1} \frac {2(2n)!}{(2\pi)^{2n}}\quad ?$$ sans passer par la relation $$B_{2n} = (-1)^{n-1} \frac {2(2n)!}{(2\pi)^{2n}}\zeta(2n).$$
Le théorème de Cesàro
dit que, lorsque la suite $(u_n)$ a une
limite, la moyenne de Cesàro $\displaystyle m(n) = \frac{1}{n} \sum_{k=0}^{n}
u_k$ possède la même limite. D'où la question
Soit $(u_n)$ une suite divergente ($u_n\rightarrow
+\infty$). Considérons la suite de Cesàro suivante : $\displaystyle L_n =
\frac{1}{n} \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k}u_k$. Supposons que $u_n \sim v_n$. que
peut-on dire de l'équivalent de $L_n$ ?
Exemple. Si on prend $(u_n)=(B_n)$, la suite des nombres de Bernoulli, on aura
Je ne sais pas, mais on peut au moins faire l'observation simple suivante, qui donne moralement le bon ordre de grandeur.
Par définition, la fonction $z \mapsto \frac{z}{e^z-1}$ a pour développement en série entière au voisinage de $0$ la série $$\sum_{n \geq 0} \frac{B_n}{n!} z^n.$$ Sa singularité la plus proche de $0$ est en $2 i \pi$, et donc la théorie générale des fonctions holomorphes nous dit que cette série entière a pour rayon de convergence $2\pi$. La formule d'Hadamard pour le rayon de convergence nous donne donc $$\frac{1}{2 \pi} = \limsup_{n \to +\infty} \sqrt[n]{\frac{B_n}{n!}}.$$
Réponses
Le théorème de Cesàro dit que, lorsque la suite $(u_n)$ a une limite, la moyenne de Cesàro $\displaystyle m(n) = \frac{1}{n} \sum_{k=0}^{n} u_k$ possède la même limite. D'où la question
Soit $(u_n)$ une suite divergente ($u_n\rightarrow +\infty$). Considérons la suite de Cesàro suivante : $\displaystyle L_n = \frac{1}{n} \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k}u_k$. Supposons que $u_n \sim v_n$. que peut-on dire de l'équivalent de $L_n$ ?
Exemple. Si on prend $(u_n)=(B_n)$, la suite des nombres de Bernoulli, on aura
$$ L_n = \frac{1}{n} \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k}B_k = \frac{B_n}{n} \quad ; \quad n\geq 2.$$
C'est pourquoi je cherche une démonstration de l'équivalent de $B_n$ pour la généraliser pour $L_n$.
[Bernoulli prend toujours une majuscule. AD]