Équivalent des nombres de Bernoulli à l'infini
Réponses
-
Pourquoi s'interdire de passer par là ?
-
Le théorème de Cesàro dit que, lorsque la suite $(u_n)$ a une limite, la moyenne de Cesàro $\displaystyle m(n) = \frac{1}{n} \sum_{k=0}^{n} u_k$ possède la même limite. D'où la question
Soit $(u_n)$ une suite divergente ($u_n\rightarrow +\infty$). Considérons la suite de Cesàro suivante : $\displaystyle L_n = \frac{1}{n} \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k}u_k$. Supposons que $u_n \sim v_n$. que peut-on dire de l'équivalent de $L_n$ ?
Exemple. Si on prend $(u_n)=(B_n)$, la suite des nombres de Bernoulli, on aura
$$ L_n = \frac{1}{n} \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k}B_k = \frac{B_n}{n} \quad ; \quad n\geq 2.$$
C'est pourquoi je cherche une démonstration de l'équivalent de $B_n$ pour la généraliser pour $L_n$.
[Bernoulli prend toujours une majuscule. AD]
-
Je ne sais pas, mais on peut au moins faire l'observation simple suivante, qui donne moralement le bon ordre de grandeur.Par définition, la fonction $z \mapsto \frac{z}{e^z-1}$ a pour développement en série entière au voisinage de $0$ la série $$\sum_{n \geq 0} \frac{B_n}{n!} z^n.$$ Sa singularité la plus proche de $0$ est en $2 i \pi$, et donc la théorie générale des fonctions holomorphes nous dit que cette série entière a pour rayon de convergence $2\pi$. La formule d'Hadamard pour le rayon de convergence nous donne donc $$\frac{1}{2 \pi} = \limsup_{n \to +\infty} \sqrt[n]{\frac{B_n}{n!}}.$$
Bonjour!
Catégories
- 163.1K Toutes les catégories
- 8 Collège/Lycée
- 21.9K Algèbre
- 37.1K Analyse
- 6.2K Arithmétique
- 53 Catégories et structures
- 1K Combinatoire et Graphes
- 11 Sciences des données
- 5K Concours et Examens
- 11 CultureMath
- 47 Enseignement à distance
- 2.9K Fondements et Logique
- 10.3K Géométrie
- 62 Géométrie différentielle
- 1.1K Histoire des Mathématiques
- 68 Informatique théorique
- 3.8K LaTeX
- 39K Les-mathématiques
- 3.5K Livres, articles, revues, (...)
- 2.7K Logiciels pour les mathématiques
- 24 Mathématiques et finance
- 312 Mathématiques et Physique
- 4.9K Mathématiques et Société
- 3.3K Pédagogie, enseignement, orientation
- 10K Probabilités, théorie de la mesure
- 772 Shtam
- 4.2K Statistiques
- 3.7K Topologie
- 1.4K Vie du Forum et de ses membres