On sait par coeur ou on trouve dans le tables des fonctions thêta elliptiques $\displaystyle v_2(z,e^{-\pi \lambda}) = \sum_{n \in \Z} e^{- \pi \lambda (n+1/2)^2} \cos((2n+1) z) = 2 e^{- \pi \lambda/4} \cos z \prod_{n \geq 1} (1-e^{-2 \pi \lambda n}) (1+2 \cos (2z) e^{-2 \pi \lambda n}+e^{-4 \pi \lambda n})$ avec des notations à deviner.
Cette formule, appliquée avec $\displaystyle z=2 \pi/3, q=e^{- 2 \pi \lambda}$, et avec la somme sur $\Z$ transformée en somme sur $\N$ par un changement d'indice, donne $\displaystyle 2 \sum_{n \geq 0} q^{n(n+1)/2} \cos((2n+1) \pi/3) = \prod_{n \geq 1} (1-q^n)(1-q^n+q^{2n}).$
J'ai en effet commis une erreur en oubliant un terme dans l'obtention du coefficient de $q^{23}$ de "mon" second membre, et ce coefficient est bien égal à $0$ comme attendu. Désolé.
Après l'avoir interrompue à la suite de cette erreur, j'ai donc repris la recherche d'une justification de cette identité, jusqu'à en atteindre une preuve combinatoire assez compliquée , que je vais m'efforcer de simplifier avant de la rédiger
Notons G(q) l’expression de gauche, D(q) l’expression de droite Prendre le logarithme montrer que $F(q)=\ln(G(q)) - \ln(D(q))$ a une dérivée nulle, puis $G(q)=\lambda D(q)$ pour trouver $\lambda$ faire $q=0$.
Comme je l'ai écrit dans un message précédent, l'identité initiale est équivalente à $\:E(q) =F(q)$, c'est-à-dire à $\:\: \boxed{\forall n \in \N, \:\: e_n =f_n.}$
En scrutant les connexions entre les $ \mathcal E_n^{i,j}$ et les $ \mathcal F_n^{i,j}, \:$ on parvient à déceler l'existence de transformations $\Phi, \Psi, \Theta$ dotées des propriétés suivantes, faciles à vérifier :
$\bullet \quad \Phi: (x,y) \mapsto \left( \dfrac {x-1-6y}3, \dfrac {x+2+3y}3 \right) $ réalise une bijection de $\:\mathcal E_n^{1,0}\: $ sur $\: \mathcal F_n^{1,1}\:$ et une bijection de $\:\mathcal E_n^{1,1}\: $ sur $\: \mathcal F_n^{1,0}.$
$\bullet \quad \Psi: (x,y) \mapsto \left( \dfrac {x+1+6y}3, \dfrac {x+1-3y}3
\right) $ réalise une bijection de $\:\mathcal E_n^{-1,0}\: $ sur $\: \mathcal
F_n^{0,0}\: $ et une bijection de $\:\mathcal E_n^{-1,1}\: $ sur $\: \mathcal F_n^{0,1}.$
$\bullet \quad \Theta: (z,t)\mapsto \left( \dfrac{-z+4t -2}3, \dfrac{2z+t+1}3 \right)\:\: $ est une involution qui échange $\mathcal F_n^{-1,0}$ et $\mathcal F_n^{-1,1}.$
Il résulte de ces observations les relations
$ E_n^{1,0}= F_n^{1,1}, \:\: E_n^{1,1}= F_n^{1,0}, \:\: E_n^{-1,0}= F_n^{0,0}, \:\: E_n^{-1,1}= F_n^{0,1}, \:\: F_n^{-1,0}= F_n^{-1,1},\:$ qui assurent la validité de $(\bigstar).$
Bravo LOU16...Il me semble que les coefficients sont donnés par cette suite dans l'OEIS où il y a ce commentaire : "This is an example of the quintuple product identity in the form
f(a*b^4, a^2/b) - (a/b) * f(a^4*b, b^2/a) = f(-a*b, -a^2*b^2) * f(-a/b,
-b^2) / f(a, b) where a = x^2, b = x" !!!
Réponses
La relation donnée me semble fausse.
On sait par coeur ou on trouve dans le tables des fonctions thêta elliptiques $\displaystyle v_2(z,e^{-\pi \lambda}) = \sum_{n \in \Z} e^{- \pi \lambda (n+1/2)^2} \cos((2n+1) z) = 2 e^{- \pi \lambda/4} \cos z \prod_{n \geq 1} (1-e^{-2 \pi \lambda n}) (1+2 \cos (2z) e^{-2 \pi \lambda n}+e^{-4 \pi \lambda n})$ avec des notations à deviner.
Cette formule, appliquée avec $\displaystyle z=2 \pi/3, q=e^{- 2 \pi \lambda}$, et avec la somme sur $\Z$ transformée en somme sur $\N$ par un changement d'indice, donne $\displaystyle 2 \sum_{n \geq 0} q^{n(n+1)/2} \cos((2n+1) \pi/3) = \prod_{n \geq 1} (1-q^n)(1-q^n+q^{2n}).$
voir le post de Favst
https://math.stackexchange.com/questions/3733360/an-application-of-integer-partitions?noredirect=1
Notons G(q) l’expression de gauche, D(q) l’expression de droite
Prendre le logarithme montrer que $F(q)=\ln(G(q)) - \ln(D(q))$ a une dérivée nulle, puis $G(q)=\lambda D(q)$
pour trouver $\lambda$ faire $q=0$.