Série infinie pour $\ln \phi$
Bon après-midi !
Quelqu’un peut-il prouver la formule suivante.
$$\ln \phi=\frac{\sqrt{5}}{2}\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{\binom{2n}{n}n}$$
où $\phi$ est le nombre d’or.
Le calcul numérique: SageMathCell
Quelqu’un peut-il prouver la formule suivante.
$$\ln \phi=\frac{\sqrt{5}}{2}\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{\binom{2n}{n}n}$$
où $\phi$ est le nombre d’or.
Le calcul numérique: SageMathCell
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Réponses
puis $z=\frac{i}{2}$ donne le résultat me semble t-il au signe près.
$\arcsin(\frac{i}{2})=i\ln(\phi)$
$$\left(\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(-1)^{n-1}4^n}{n\binom{2n}{n}}\right)^2=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(-1)^{n-1}4^n}{n^2\binom{2n}{n}}$$