Dominant de cent coudées les philosophes des lumières, Sade fut le penseur le plus pénétrant de son temps. (Lautréamont)
Équation dont les racines sont les moyennes des racines d'une équation cubique
Bonjour,
Démontrer que, si $f(x) = 0 \ (1)$ est une équation cubique, alors l'équation (cubique) admettant pour racines les moyennes arithmétiques des racines de $(1)$ prises deux à deux est donnée par la relation $f(x)f'''(x) - 3f'(x)f''(x) = 0$.
Le procédé employé n'est pas le plus simple pour le degré $3$, mais il présente l'avantage d'être applicable à une équation quartique, quintique, etc.
A+
Démontrer que, si $f(x) = 0 \ (1)$ est une équation cubique, alors l'équation (cubique) admettant pour racines les moyennes arithmétiques des racines de $(1)$ prises deux à deux est donnée par la relation $f(x)f'''(x) - 3f'(x)f''(x) = 0$.
Le procédé employé n'est pas le plus simple pour le degré $3$, mais il présente l'avantage d'être applicable à une équation quartique, quintique, etc.
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Réponses
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Bonjour,
syms s1 s2 s3 x a b c A=(b+c)/2; B=(c+a)/2; C=(a+b)/2; f0(x)=x^3-s1*x^2+s2*x-s3; f1(x)=diff(f0(x),x); f2(x)=diff(f1(x),x); f3(x)=diff(f2(x),x); g(x)=f0(x)*f3(x)-3*f1(x)*f2(x); g(x)=collect(-g(x)/6,x); % On trouve g(x) = 8*x^3 - 8*s1*x^2 + 2*(s1^2+s2)*x + (s3-s1*s2) S1=FracSym(A+B+C); S2=FracSym(A*B+B*C+C*A); S3=FracSym(A*B*C); % On trouve: S1=s1; S2=(s1^2+s2)/4; S3=(s1*s2-s3)/8; % Ce qui correspond bien à g(x), donc c'est gagné
Cordialement,Rescassol
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RE
La preuve repose sur la formule de Taylor et les deux préliminaires suivants :
-- deux racines de $P(x)$ ont pour somme $2s$ si $P(x+s)$ a deux racines opposées ;
-- $P(x)$ a deux racines opposées si les deux polynômes en $x^2$ que sont le sous-polynôme pair (formé des termes de degré pair) et le sous-polynôme impair divisé par $x$ ont une racine commune.
Cette technique a été signalée par Lambert au 18ème siècle et par Prouhet au 19ème siècle (NAM).
A+Dominant de cent coudées les philosophes des lumières, Sade fut le penseur le plus pénétrant de son temps. (Lautréamont) -
RE
En remplaçant $P(x+s)$ par $P(x+s/2)$, on obtiendra l'équation aux sommes au lieu de l'équation aux demi-sommes.
A+Dominant de cent coudées les philosophes des lumières, Sade fut le penseur le plus pénétrant de son temps. (Lautréamont)
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