Somme de deux sinusoïdes de même fréquence

gebrane · November 2021

Bonjour

Étant donnés $a, a_1, a_2 \ge 0$, et $\phi_1, \phi_2\in \mathbb{R}$
Dans le cas d'une même amplitude, on voit sans peine que
$$(1)\quad a\cos(wt+\phi_1)+a\cos(wt+\phi_2) = 2a\cos(\frac{\phi_1 -\phi_2 }{2}) \cos (wt+\frac{\phi_1 +\phi_2 }{2} ).$$
Dans le cas d'amplitudes différentes, on voit aussi sans peine que
$$(2)\quad a_1\cos(wt+\phi_1)+a_2 \cos(wt+\phi_2)=\sqrt{a_1^2 +a_2^2+2a_1a_2\cos(\phi_1 -\phi_2)} \\ \cos\Big(wt+\arctan\big(\frac{a_1\sin(\phi_1)+a_2\sin(\phi_2)}{a_1\cos(\phi_1)+a_2\cos(\phi_2)}\big)\Big)$$
Je voulais retrouver le (1) en remplaçant dans la (2) $a_1$ et $a_2$ par un $a$, je trouve
$$a\cos(wt+\phi_1)+a\cos(wt+\phi_2)=2a\vert \cos(\frac {\phi_1 -\phi_2 }2)\vert \cos(wt+\arctan (\tan (\frac {\phi_1 +\phi_2 }2 ) )).$$ Mais $\arctan (\tan x)=x-k\pi$ pour tout $x\in \,]\frac{-\pi}2+k\pi, \frac{\pi}2+k\pi[$.
Dans mon état actuel, je ne vois pas la suite.

gebrane · November 2021

Merci JLT pour la correction du Latex

pldx1 · November 2021

Bonjour.

Quelle est donc la valeur de $ {\dfrac {\sin \left( \phi_1 \right) +\sin \left( \phi_2 \right) }{\cos \left( \phi_1 \right) +\cos \left( \phi_2 \right) }} $ ?

Cordialement, Pierre.

gebrane · November 2021

Bonsoir pldx1, cela donne $\tan (\frac {\phi_1 +\phi_2 }2 ) $ avec les formules trigo sur la somme de deux sinus ou cosinus

pldx1 · November 2021

Bonjour

" On voit aussi sans peine que" \[ \def\ptv{~;~} a_{0}=\sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+2a_{1}a_{2}\cos(\phi_{1}-\phi_{2})}\ptv\phi_{0}=\arctan\left(\frac{a_{1}\sin\phi_{1}+a_{2}\sin\phi_{2}}{a_{1}\cos\phi_{1}+a_{2}\cos\phi_{2}}\right) \] Mais en prenant la peine de regarder, on voit que

\[ a_{0}^{2}=a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+2a_{1}a_{2}\cos(\phi_{1}-\phi_{2})\ptv\phi_{0}=2\arctan\left(\frac{a_{1}\sin\phi_{1}+a_{2}\sin\phi_{2}} {a_{0}+a_{1}\cos\phi_{1}+a_{2}\cos\phi_{2}}\right) \]

Cordialement, Pierre.

YvesM · November 2021

Bonjour,

@gebrane ; Tu fais une erreur dans la seconde relation. Il est juste d'écrire : $\displaystyle \tan \theta = {a_1 \sin \varphi_1 + a_2 \sin \varphi_2 \over a_1 \cos \varphi_1 +a_2 \cos \varphi_2}$ et l'argument du cosinus est $\omega t + \theta.$
Mais quand tu écris cet argument comme $\displaystyle \omega t + \arctan {a_1 \sin \varphi_1 + a_2 \sin \varphi_2 \over a_1 \cos \varphi_1 +a_2 \cos \varphi_2}$ tu fais l'hypothèse que $\displaystyle \arctan (\tan \theta) = \theta$ ce qui est faux dans le cas général (ce que tu sais).

Tu dois donc reprendre ta seconde relation et soit la changer soit ajouter une hypothèse.

Et le problème que tu rencontres disparaît.

gebrane · November 2021

Pldx, bonjour

merci pour ta réponse que je ne vois pas.

YvesM, bonjour

Je donne les détails de mes calculs pour voir l'erreur que tu cites (je reprends difficilement mes activités).

On a $a_1\cos(wt+\phi_1)+a_2 \cos(wt+\phi_2)=Re \big[a_1e^{i(wt+\phi_1)}+a_2 e^{i(wt+\phi_2)}\big]$=$Re \big[ e^{iwt}(a_1e^{i\phi_1}+a_2 e^{i\phi_2})\big]$.

Le nombre complexe $Z=a_1e^{i\phi_1}+a_2 e^{i\phi_2}$ peut s'écrire sous sa forme trigo $Ae^{i\phi}$ avec $A=||Z||$ et $\phi=\arg(Z)\pmod{2\pi}$.

On a $Z=a_1\cos(\phi_1) +a_2\cos(\phi_2) +i (a_1\sin(\phi_1)+a_2\sin(\phi_2))$, d'où $A=\sqrt{ (a_1\cos(\phi_1) +a_2\cos(\phi_2))^2+(a_1\sin(\phi_1)+a_2\sin(\phi_2))^2 }=\sqrt{a_1^2+a_2^2+2a_1a_2 \cos(\phi_1-\phi_2)}$ et $\phi=\arctan (\frac{a_1\sin(\phi_1)+a_2\sin(\phi_2)}{a_1\cos(\phi_1) +a_2\cos(\phi_2)}$.

Finalement

$a_1\cos(wt+\phi_1)+a_2 \cos(wt+\phi_2)=Re(e^{iwt} Ae^{i\phi})=A\cos(wt+\phi)$ avec A et $\phi$ calculés ci-dessus.

Maintenant si je prends $a_1=a_2=a$, on aura

$A=\sqrt{2a^2+2a^2 \cos(\phi_1-\phi_2)}=\sqrt{2a^2(1+ \cos(\phi_1-\phi_2))}=2a|\cos(\frac{\phi_1-\phi_2}2|$ et $\phi=\arctan (\frac{\sin(\phi_1)+\sin(\phi_2)}{\cos(\phi_1) +\cos(\phi_2)})$=$\arctan \frac{ 2\sin(\frac{\phi_1+\phi_2}2)\cos(\frac{\phi_1- \phi_2}2)}{2\cos(\frac{\phi_1+\phi_2}2)\cos(\frac{\phi_1- \phi_2}2)}$=$\arctan (\tan (\frac{\phi_1+\phi_2}2))$.

Mais directement on a $a\cos(wt+\phi_1)+a \cos(wt+\phi_2)=2a\cos(\frac{\phi_1- \phi_2}2)\cos(wt+\frac{\phi_1+ \phi_2}2)$.

Ma question était comment démontrer que $$2a\cos(\frac{\phi_1- \phi_2}2)\cos(wt+\frac{\phi_1+ \phi_2}2)=2a|\cos(\frac{\phi_1-\phi_2}2)|\cos(wt+\arctan (\tan (\frac{\phi_1+\phi_2}2)).$$

pldx1 · November 2021

Bonjour.

Ta formule "on voit aussi sans peine que" est fausse. Si l'on disposait d'une preuve de cette formule, on pourrait s'en servir pour démontrer que les deux formules sont égales... et même pour démontrer n'importe quoi d'autre. Sauf que... la formule "on voit aussi sans peine que" est fausse. Et le fait que cette formule ne redonne pas l'autre dans le cas $a1=a2$ est précisément la preuve de la fausseté de cette formule.

Une phase est un angle de vecteurs, pas un angle de droites.

Cordialement, Pierre.

gebrane · November 2021

Bonjour Pierre.
Dans mon dernier message, j'ai donné une preuve de la formule 2.
Dans mon état actuel, j'ai un terrible problème de concentration.

pldx1 · November 2021

Bonjour gebrane.
Comme la formule 2 est fausse, ce que tu as donné ne peut pas être une preuve.
Cordialement, Pierre.

gebrane · November 2021

Merci Pldx, l'erreur précise était signalé par YvesM. (j'ai répété la même erreur dans mon deuxième message).

pldx1 · December 2021

Bonjour,

Il reste à prouver que la formule proposée est correcte.

Cordialement, Pierre.

gebrane · December 2021

Pldx1, j'avais dit merci pour ta réponse que je ne vois pas.

Vraiment je ne vois pas pourquoi ta formule va nous donner la formule 1 . Ta formule est bien connue, mais je ne vois pas son utilité, ça complique les choses. Non? ).

Somme de deux sinusoïdes de même fréquence

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Bonjour!

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