Bonjour, je bloque pour la démonstration que je trouve pas très triviale. Là j'ai écrit trois pages et plus j'explore le problème plus j'ai l'impression qu'il y a de cas à traiter... Est-ce que vous avez une piste qui rend la chose plus simple? Merci.
Réponses
Je répondais à la seconde question. La première est simplement (une partie de) l'existence du produit libre, tu veux refaire cette démonstration ?
Le produit libre $G\star H$ est le monoide quotient de $\text{Mot}(G \sqcup H)$ par le sous monoïde normal engendré par $g.g'.{g''}^{-1}$, $h.h'.{h''}^{-1}$, ${g''}^{-1}.g.g'$, ${h''}^{-1}.h.h'$, pour tout les triplets de $G$, $(g,g',g'')$ avec $g''=g.g'$ et pareil pour $H$, et $1_G.h.h^{-1}$, $1_H.g.g^{-1}$, $hh^{-1}.1_G$, $g.g^{-1}.1_H$ pour tout $g$ et tout $h$.
Le groupe libre est le monoïde quotient, et la structure induite, lui confère une structure de groupe.
Maintenant il y a un fait non trivial à prouver, c'est qu'il y a une bijection du quotient avec les mots réduits de $G \sqcup H$, ça c'est un théorème.
Une fois que tu as cette bijection, le fait que la concaténation dans le groupe des mots réduits soit associative découle tu fait qu'elle est induite par celle sur le groupe qu'on vient de de définir.