Un curieux rapport
Bonjour,
1. ABC un triangle,
2. (O) le cercle circonscrit
3. I le centre du cercle inscrit
4. (Oa) le A-mixtilinear incircle de ABC
5. Q, R les points de contact de (Oa) resp. avec (AC), (AB)
6. A* le point de (Oa) avec (O)
7. M le second point d'intersection de
(AA*) avec (Oa)
8. P le point d'intersection de (QR) et (BC)
9. J le point d'intersection de (PM) et (AI).
Question : JA/JI = (AB + AC)/BC.
Sincèrement
Jean-Louis
Réponses
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Bonjour Pierre,
merci pour votre aide...comment avez-vous fait? quelle procédure à suivre ?
Sincèrement
Jean-Louis
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Bonjour Jean-Louis.
J'ai converti ton fichier *.pdf en un fichier *.png. J'en ai profité pour faire un "crop" de cette image. Il semble que le phorum affiche les *.png, mais pas les *.pdf. Evidemment, on perd les propriétés vectorielles du *.pdf: il faut prendre une taille de 600 à 800 pour les *.png.
Cordialement, Pierre. -
Merci Pierre, c'est bon à savoir !J'avais eu des difficultés, il y a quelques jours, à insérer une figure en pdf dans un message ...Bien amicalement, JLB
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Merci Pierre...
J'expérimenterai cela la prochaine fois...
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Bonjour,
J'en profite pour redonner cette fiche sur les cercles mixti-linéaires.
Cordialement,
Rescassol
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Merci, Jean-Louis et Rescassol, de m'avoir fait découvrir ces cercles ! C'est vraiment la première fois que j'en vois !Bien amicalement JLB
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Bonjour,
Il y a deux cercles mixtilinéaires relatifs à l'angle $A$.
On passe de l'un à l'autre par la transformation de Lemoine qui s'écrit
$a\mapsto -a$ en barycentriques, $\alpha \mapsto -\alpha$ en représentation Lubin-2 ... et ne s'écrit pas en représentation de Poncelet. D'où l'intérêt de traduire la feuille de résultats donnée par Rescassol. $\renewcommand*{\arraystretch}{2.5}$\[ \begin{array}{ccccc} & & & \mathrm{Poncelet} & \mathrm{Lubin-2}\\ \hline 1 & A & A & \dfrac{2\,vw}{v+w} & \alpha^{2}\\ 2 & B & B & \dfrac{2\,uw}{w+u} & \beta^{2}\\ 3 & C & C & \dfrac{2\,uv}{u+v} & \gamma^{2}\\ \hline 4 & O & O & \dfrac{2s_{1}}{s_{1}\,\overline{s_{1}}-1} & 0\\ 5 & I_{0} & I_{0} & 0 & -\alpha\,\beta-\alpha\,\gamma-\beta\,\gamma\\ 6 & I_{a} & J_{a} & \dfrac{4\,s_{3}}{\left(u+v\right)\left(w+u\right)} & \alpha\,\beta+\alpha\,\gamma-\beta\,\gamma\\ 7 & O_{1} & M_{A} & \dfrac{2\,vw\left(v+w\right)}{\left(v-w\right)^{2}} & \dfrac{\left(\alpha\,\beta+\alpha\,\gamma+2\,\beta\,\gamma\right)^{2}}{\left(\beta-\gamma\right)^{2}}\\ 8 & O_{2} & N_{A} & \dfrac{2\,vw\left(s_{1}\,s_{2}-9\,s_{3}\right)}{\left(u+v\right)\left(w+u\right)\left(v-w\right)^{2}} & \dfrac{\left(\alpha\,\beta+\alpha\,\gamma-2\,\beta\,\gamma\right)^{2}}{\left(\beta-\gamma\right)^{2}}\\ \hline 9 & R_{1} & M_{AB} & \dfrac{2\,vw}{v-w} & \dfrac{\alpha^{2}\left(\beta+\gamma\right)+2\,\beta^{2}\left(\gamma+\alpha\right)+2\,\alpha\,\beta\,\gamma}{\gamma-\beta}\\ 10 & R_{2} & N_{AB} & \dfrac{2vw\left(u^{2}+uv-3\,uw+vw\right)}{\left(u+v\right)\left(w+u\right)\left(v-w\right)} & \dfrac{\alpha^{2}\left(\beta+\gamma\right)+2\,\beta^{2}\left(\gamma-\alpha\right)-2\,\alpha\,\beta\,\gamma}{\gamma-\beta}\\ 11 & Q_{1} & M_{AC} & \dfrac{2\,vw}{w-v} & \dfrac{\alpha^{2}\left(\beta+\gamma\right)+2\,\gamma^{2}\left(\beta+\alpha\right)+2\,\alpha\,\beta\,\gamma}{\beta-\gamma}\\ 12 & Q_{2} & N_{AC} & \dfrac{2\,vw\left(u^{2}-3\,uv+uw+vw\right)}{\left(u+v\right)\left(w+u\right)\left(w-v\right)} & \dfrac{\alpha^{2}\left(\beta+\gamma\right)+2\,\gamma^{2}\left(\beta-\alpha\right)-2\,\alpha\,\beta\,\gamma}{\beta-\gamma}\\ 13 & A_{1}^{*} & T_{BC} & \dfrac{2\,s_{3}}{vw+s_{2}} & -\dfrac{\alpha\,\left(\alpha\,\beta+\alpha\,\gamma+2\,\beta\,\gamma\right)}{\gamma+\beta+2\,\alpha}\\ 14 & A_{2}^{*} & S_{BC} & \dfrac{2\,s_{3}\,\left(u^{2}+uv+uw-3\,vw\right)}{\left(uv+uw-2\,vw\right)\left(u+v\right)\left(w+u\right)} & -\dfrac{\alpha\,\left(\alpha\,\beta+\alpha\,\gamma-2\,\beta\,\gamma\right)}{\gamma+\beta-2\,\alpha}\\ 15 & P_{1} & & & \negthickspace\negthickspace\negthickspace\dfrac{\left(\beta^{2}+\beta\,\gamma+\gamma^{2}\right)\alpha^{2}+2\,\alpha\beta\,\gamma\,\left(\beta+\gamma\right)+\gamma^{2}\beta^{2}}{\alpha^{2}-\beta\,\gamma} \end{array} \]Le résultat de JLA est $\overline{J_{1}A}\div\overline{J_{1}I_{0}}=-\left(b+c\right)/a$ et, par transformation continue, on a $\overline{J_{2}A}\div\overline{J_{2}I_{a}}=+\left(b+c\right)/a$ pour le deuxième cercle.
Cordialement, Pierre. -
Bonsoir,
Et voilà le calcul:% Jean Louis Ayme - 23 Novembre 2021 - Un curieux rapport clc, clear all, close all % On part du triangle de contact UVW syms u v w syms uB vB wB % Conjugués uB=1/u; % Morley's trick avec le cercle inscrit vB=1/v; wB=1/w; syms s1 s2 s3; syms s1B s2B s3B; % Conjugués s1=u+v+w; % Fonctions symétriques s2=u*v+v*w+w*u; s3=u*v*w; s1B=s2/s3; % Conjugués s2B=s1/s3; s3B=1/s3; %----------------------------------------------------------------------- a=2*v*w/(v+w); % Sommets ABC du triangle b=2*w*u/(w+u); c=2*u*v/(u+v); aB=2*vB*wB/(vB+wB); % Conjugués bB=2*wB*uB/(wB+uB); cB=2*uB*vB/(uB+vB); %----------------------------------------------------------------------- % Centre O et rayon R du rayon du cercle circonscrit au triangle ABC o=2*s1*s3/(s1*s2-s3); oB=2*s1B*s3B/(s1B*s2B-s3B); R=2/(1-s1*s1B); %----------------------------------------------------------------------- % Centre Oa et carré du rayon Ra2 du rayon du cercle A-mixti-linéaire oa=2*v*w*(v+w)/(v-w)^2; oaB=2*vB*wB*(vB+wB)/(vB-wB)^2; Ra2=16*v^2*w^2/(v-w)^4; %----------------------------------------------------------------------- % Longueurs des côtés du triangle ABC BC=-2*i*u*(v-w)/((u+v)*(u+w)); CA=-2*i*v*(w-u)/((v+w)*(v+u)); AB=-2*i*w*(u-v)/((w+u)*(w+v)); %----------------------------------------------------------------------- % Points de contact Q et R du cercle A-mixti-linéaire et de (AB) et (AC) q=2*v*w/(w-v); qB=2*vB*wB/(wB-vB); r=-q; rB=-qB; % Point d'intersection P des droites (QR) et (BC) [pqr qqr rqr]=DroiteDeuxPoints(q,r,qB,rB); % Droite (QR) [p pB]=IntersectionDeuxDroites(pqr,qqr,rqr,1,u^2,-2*u); % On trouve p=2*s3/(v*w-u^2) % Point de contact A* des cercles A-mixti-linéaires et circonscrit astar=2*s3/(s2+v*w); astarB=2*s3B/(s2B+vB*wB); % Point M où la droite (AA*) recoupe le cercle A-mixti-linéaire [paastar qaastar raastar]=DroiteDeuxPoints(a,astar,aB,astarB); % Droite (AA*) syms m mB=-(paastar*m+raastar)/qaastar; NulM=numden(Factor(((m-oa)*(mB-oaB)-Ra2))/(m-astar)); % On trouve: m=2*v*w*(s2+v*w)/(u*(v-w)^2); mB=2*vB*wB*(s2B+vB*wB)/(uB*(vB-wB)^2); % Point d'intersection J des droites (PM) et (AI) [ppm qpm rpm]=DroiteDeuxPoints(p,m,pB,mB); % Droite (PM) [j jB]=IntersectionDeuxDroites(ppm,qpm,rpm,aB,-a,0); j=Factor(j) % On trouve j=-2*s3/((u-v)*(u- w)) %----------------------------------------------------------------------- % Calcul de rapports de distance JA=Factor(a-j); JI=Factor(-j); K1=Factor(JA/JI) % On trouve (u^2+v*w)/(u*(v+w)) qui est réel K2=Factor((AB+CA)/BC) Nul=Factor(K1+K2) % Égal à 0, donc c'est gagné
Cordialement,
Rescassol
-
Bonjour,
Maintenant que j'ai compris comment supprimer une image, j'ai pu modifier ma fiche pour rajouter les carrés des rayons des trois cercles, circonscrit, mixti-linéaire intérieur et mixti-linéaire extérieur.
Cordialement,
Rescassol
-
Bonjour
On voit immédiatement sur la figure que le rayon du cercle mixtilinéaire intérieur est $\dfrac{r}{\cos ^{2}\frac{A}{2}}$ où $r$ est le rayon du cercle inscrit.
De même rayon du cercle mixtilinéaire extérieur est $\dfrac{r_{A}}{\cos ^{2}\frac{A}{2}}$ où $r_{A}$ est le rayon du cercle $A$-exinscrit.
Bien cordialement. poulbot
-
Bonjour,
merci pour vos contributions...
Qu'en est-il pour une preuve synthétique ?
Sincèrement
Jean-Louis.
-
Pour ce qui est des rayons, mieux vaut ne pas oublier l'unité de longueur. On a donc :\[ r_{0}=\frac{R}{2}\left(1-\dfrac{s_{1}\,s_{2}}{s_{3}}\right)=\frac{R}{2}\left(1-s_{1}\,\overline{s_{1}}\right) \]\begin{eqnarray*} R_{int}^{2} & = & \dfrac{4\left(\beta+\gamma\right)^{2}\left(\gamma+\alpha\right)^{2}\left(\beta+\alpha\right)^{2}}{\alpha^{2}\left(\beta-\gamma\right)^{4}}\,R^{2}=\dfrac{16\,v^{2}w^{2}}{\left(v-w\right)^{4}}\,r_{0}^{2}\\ R_{ext}^{2} & = & \dfrac{4\left(\beta+\gamma\right)^{2}\left(\gamma-\alpha\right)^{2}\left(\beta-\alpha\right)^{2}}{\alpha^{2}\left(\beta-\gamma\right)^{4}}\,R^{2}=\dfrac{16\,\left(u-v\right)^{2}\left(u-w\right)^{2}v^{2}w^{2}}{\left(v-w\right)^{4}\left(u+v\right)^{2}\left(u+w\right)^{2}}\,r_{0}^{2} \end{eqnarray*}Cordialement, Pierre.
-
Bonjour,
Oui, bien sûr, Pierre. Avec Morley inscrit, j'ai toujours $r_0=1$, c'est l'unité.
Cordialement,
Rescassol
-
Bonsoir,
J'y suis parvenu en barycentriques, mais je suppose que Bouzar aurait fait plus simple et plus rapide.% Jean Louis Ayme - 23Novembre 2021 - Un curieux rapport clc, clear all, close all syms a b c S real % Longueurs des côtés du triangle ABC et son aire S Sa=(b^2+c^2-a^2)/2; Sb=(c^2+a^2-b^2)/2; Sc=(a^2+b^2-c^2)/2; Sab=Sa*Sb; Sbc=Sb*Sc; Sca=Sc*Sa; S2=Sab+Sbc+Sca; % 4 fois le carré de l'aire (donc S2=4*S^2) s1=a+b+c; s2=a*b+b*c+c*a; s3=a*b*c; %----------------------------------------------------------------------- A=[1; 0; 0]; % Sommets du triangle ABC B=[0; 1; 0]; C=[0; 0; 1]; BC=[1, 0, 0]; % Côtés du triangle ABC CA=[0, 1, 0]; AB=[0, 0, 1]; %----------------------------------------------------------------------- % Centre du cercle circonscrit et carré de son rayon O = [a^2*Sa; b^2*Sb; c^2*Sc]; R2=(a^2*b^2*c^2)/((a+b+c)*(a+b-c)*(a-b+c)*(b-a+c)); % Centre du cercle inscrit et carré de son rayon I = [a; b; c]; % S2/4 = S^2 = p^2*r^2 = (s1^2/4)*r^2 donc r2=S2/s1^2; % Cercle mixti-linéaire interne % Droite Dortho passant par I orthogonale à (IA) IA=Wedge(I,A); % Droite (IA): IA=[0, c, -b] Dortho=PgcdBary(DroiteOrthogonaleBary(I,IA,a,b,c)); % Dortho=[2*b*c, -c*(a-b+c), -b*(a+b-c)] R=Wedge(AB,Dortho); % R=[c*(a-b+c); 2*b*c; 0] Q=Wedge(CA,Dortho); % Q=[-b*(a+b-c); 0; -2*b*c] D1=DroiteOrthogonaleBary(R,AB,a,b,c); D2=DroiteOrthogonaleBary(Q,CA,a,b,c); % On trouve: % D1=[4*b*c^3, -2*c^3*(a-b+c), c*(a+b-c)*(a^2+2*a*c-b^2-2*b*c+c^2)] % D2=[4*b^3*c, b*(a-b+c)*(a^2+2*a*b+b^2-2*b*c-c^2), -2*b^3*(a+b-c)] Oa=PgcdBary(Wedge(D1,D2)); % On trouve pour le centre du cercle: Oa=[a^3 + (b+c)*a^2 - (b+c)^2*a - (b+c)*(b-c)^2; -4*b^2*c; -4*b*c^2]; % Et pour le carré du rayon: Ra2=Factor(Distance2(Oa,Q,a,b,c)); % Donc: Ra2=4*b^2*c^2*(a+b-c)*(a-b+c)/((a+b+c)^3*(b-a+c)); % Point d'intersection P des droites Dortho et (BC) P=Wedge(Dortho,BC); % P=[0; -b*(a+b-c); c*(a-b+c)] % Axe radical des cercles circonscrit et mixti-linéaire E1 = CercleCentreRayon2PQR(O,R2,a,b,c); E2 = CercleCentreRayon2PQR(Oa,Ra2,a,b,c); Axe=PgcdBary(FactorT(E1-E2)); % Axe=[4*b^2*c^2, c^2*(a-b+c)^2, b^2*(a+b-c)^2] % Point de contact des deux cercles syms v w real u=-(Axe(2)*v+Axe(3)*w)/Axe(1); Eq=numden(Factor(Distance2(O,[u; v; w],a,b,c)-R2)); Eq=Factor(Eq/(4*b^2*c^2)); % On trouve Eq=(w*b^3 - w*b^2*c + a*w*b^2 + v*b*c^2 - v*c^3 - a*v*c^2)^2 % Donc -c^2*(a-b+c)*v + b^2*(a+b-c)*w = 0 et on peut prendre: v=2*b^2*(a+b-c); w=2*c^2*(a-b+c); u=Factor(-(Axe(2)*v+Axe(3)*w)/Axe(1)); % Donc u=-a*(a+b-c)*(a-b+c) Astar=[-a*(a+b-c)*(a-b+c); 2*b^2*(a+b-c); 2*c^2*(a-b+c)]; % Point d'intersection M de la droite (AA*) et du cercle mixti-linéaire AAstar=Wedge(A,Astar); % Droite (AA*): AAstar=[0, -c^2*(a-b+c), b^2*(a+b-c)] syms u w real v=-AAstar(3)*w/AAstar(2); Eq=numden(Factor(Distance2(Oa,[u; v; w],a,b,c)-Ra2)); F=-b^2*c^2*(a-b+c)^2; Eq=Factor(Eq/F); % Donc: % 2*c^2*u + (a*b-a*c+a^2)*w = 0 et u=-a*(a+b-c)/(2*c^2) * w C'est A* % ou: % -2*c^2*u + (a+2*b+2*c)*(a+b-c)*w = 0 % et u = (a+2*b+2*c)*(a+b-c)/(2*c^2) * w C'est M donc, on peut prendre: u=(a+2*b+2*c)*(a+b-c); w=2*c^2; v=Factor(-AAstar(3)*w/AAstar(2)); % v=2*b^2*(a+b-c)/(a-b+c) et finalement: M=[(a+2*b+2*c)*(a+b-c)*(a-b+c); 2*b^2*(a+b-c); 2*c^2*(a-b+c)]; % Point d'intersection J des droites (PM) et (IA) J=Wedge(Wedge(P,M),IA); J=PgcdBary(J); % On trouve J=[a*(a+2*b+2*c), b*(b+c), c*(b+c)] % Rapport de distances JA2=Distance2(A,J,a,b,c); JI2=Distance2(I,J,a,b,c); K=Factor(JA2/JI2) % On trouve K=(b+c)^2/a^2 donc c'est gagné
Cordialement,Edit: Comment faire pour enlever ce jaune disgracieux de mon code et l'afficher correctement ?
Rescassol -
Bonjour,Joyeuses FêtesSincèrementJean-Louis
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