Intuition lors de la définition $\omega=\tau {\bf t}+\kappa {\bf b}$
Bonjour,
Vecteur de rotation du trièdre d'une courbe de courbure $\kappa\not=0$ lorsqu'un point se déplace le long de la courbe à vitesse unitaire. Il est donné par
$$\omega=\tau {\bf t}+\kappa {\bf b},\quad (*)$$
où $\tau$ est la torsion, ${\bf t}$ le vecteur tangent, et ${\bf b}$ le vecteur binormal. Le champ de vecteurs de Darboux satisfait
$$\begin{cases}
{\bf t}'=\omega\times {\bf t},\\
{\bf n}'=\omega\times {\bf n},\\
{\bf b}'=\omega\times {\bf b}
\end{cases}$$
Question: Quelle est l'intuition pour définir $\omega$ comme dans $(*)$ ?
Merci
Vecteur de rotation du trièdre d'une courbe de courbure $\kappa\not=0$ lorsqu'un point se déplace le long de la courbe à vitesse unitaire. Il est donné par
$$\omega=\tau {\bf t}+\kappa {\bf b},\quad (*)$$
où $\tau$ est la torsion, ${\bf t}$ le vecteur tangent, et ${\bf b}$ le vecteur binormal. Le champ de vecteurs de Darboux satisfait
$$\begin{cases}
{\bf t}'=\omega\times {\bf t},\\
{\bf n}'=\omega\times {\bf n},\\
{\bf b}'=\omega\times {\bf b}
\end{cases}$$
Question: Quelle est l'intuition pour définir $\omega$ comme dans $(*)$ ?
Merci
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Réponses
Ce sont les formules de Frenet!
Il faudrait expliquer clairement pourquoi la matrice $M$ est antisymétrique et ce que cela a à voir avec le groupe de Lie $SO(3,\mathbb R)$!
Amicalement
pappus
On peut justement considérer que ta démonstration, classique au demeurant, est une preuve du fait que l'algèbre de Lie du groupe $SO(3,\mathbb R)$ est l'espace vectoriel des matrices antisymétriques de taille 3!
Amicalement
pappus