Sous-groupe distingué
Salut
En voyant d'une autre façon cette notion, je souhaite démontrer cette liste d'équivalences. Toutefois, je bloque pour l'implication (xi) $\implies$ (xii), même si je sais que le fait que $H$ soit un noyau assure qu'il est distingué dans $G$, mais dans le sens de ces implications, ça ne me semble pas "ergonomique".
Réponses
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Par analyse synthèse : l'unique façon est de définir l'opération $\ast$ sur $G/H$ par $xH\ast yH:=f(x)f(y)$.
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Sauf que $f$ n'est a priori pas à valeurs dans $G/H$, non ?
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Oui j'ai raconté des salades. C'est $xH\ast yH:=xyH$ tout simplement. Il reste à montrer que cette structure est bien définie (facile vu la définition de $H$) et qu'elle est unique.
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@topopot
Ce n'est qu'un problème d'interprétation. Quand on dit un morphisme f et un groupe G' tu peux les appeler respectivement, h et K, ou tout autre dénomination.
L'énoncé peut se lire ainsi:
Montrer qu'il existe un groupe K et un morphisme h ....
Ainsi K=G/ker et le morphisme est la surjection canonique qui est surjective par def. -
Merci c'est bon. Les 16 implications sont désormais démontrées.
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