Maximum
Bonsoir
Je bloque sur cet exercice.
Soient $a_1, \cdots, a_n$ des entiers strictement positifs. Pour tout $k \in [|1,n|]$ on note $m_k = \max\limits_{1 \leq \ell \leq k} \dfrac{a_{k-\ell+1} +a_{k-\ell+2}+ \cdots + a_{k}}{ \ell}$.
Montrer que $\forall \alpha >0,\ \mathrm{card} \{ k \in [|1,n|] \mid m_k > \alpha \} < \dfrac{a_1+ \cdots +a_n}{\alpha}$.
Je bloque sur cet exercice.
Soient $a_1, \cdots, a_n$ des entiers strictement positifs. Pour tout $k \in [|1,n|]$ on note $m_k = \max\limits_{1 \leq \ell \leq k} \dfrac{a_{k-\ell+1} +a_{k-\ell+2}+ \cdots + a_{k}}{ \ell}$.
Montrer que $\forall \alpha >0,\ \mathrm{card} \{ k \in [|1,n|] \mid m_k > \alpha \} < \dfrac{a_1+ \cdots +a_n}{\alpha}$.
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Réponses
En lisant cet énoncé, je ne sais pas le faire.
Si c’était un objectif, je commencerais avec des cas particuliers très simples pour mieux comprendre ce dont on me parle. Puis des cas moins particuliers avec un tout petit nombre de $a_i$.
Disons-le vulgairement : je me sortirais les doigts.
Dom d'accord merci. Rien que la définition de $m_k$ n'est pas si évidente. Et sur un exemple simple je ne trouve pas d'idée de preuve, même si j'ai mieux compris l'exercice.
Je prends $a_i = i$ pour tout $i \in [|1,n|]$ avec $n=3$.
J'ai donc $m_1= a_1 =1$, $m_2=\max (a_1 , \dfrac{a_1+a_2}{2} )= \max(1, 3/2)=3/2$ , $m_3=\max (a_1 , \dfrac{a_1+a_2}{2}, \dfrac{a_1+a_2 +a_3}{3} )=2$.
Soit $\alpha >0$.
Prenons $\alpha=1$. $card( \{ k \in [|1,3|] \ m_k > 1 \}= 2$ et $\dfrac{a_1 + a_2 + a_3}{1}=5 >2$ le résultat est vérifiée.
Donc , vraiment, tu n'avais même pas pensé à chercher à la main, sur des petites valeurs, comment ça marchait ?
Il a fallu que Dom te donne ce conseil !!!
100 fois, tu as posé des questions, 100 fois, les gens t'ont dit qu'il faut manipuler les données, chercher ...
Et pour le 101ème exercice, tu n'as toujours pas retenu ce conseil ? Au 1000ème exercice, il faudra encore te donner ce conseil ?
Sur une échelle allant de Kangourou à Spé, Il ne peut pas être difficile, puisque dans l'alphabet, D n'est pas entre K et S.
1) Trouver la limite de la suite $\frac{1}{n\sin(n)}$
2) Soit $f$ une fonction infiniment dérivable sur $\mathbb{R}$ vérifiant : $\forall x \in \mathbb{R},\ \exists n \in \mathbb{N},\ f^{(n)}(x) = 0$. Montrer que $f$ est un polynôme.
N'a-t-on pas plutôt $m_2=\max\left(a_2,\dfrac{a_1+a_2}2\right)$, $m_3=\max\left(a_3,\dfrac{a_2+a_3}2,\dfrac{a_1+a_2+a_3}3\right)$, etc. ?
Sol un entraînement pour les olympiades.
@Noobey 5 min je ne suis pas sûr ils ont l'air costauds.
1) Après 25 min de réflexion, je n'ai pas réussi, j'ai tenté $-1 \leq \sin(n) \leq 1$ mais un problème en $0$ m'a bloqué, la fonction $x \mapsto 1/x$ n'étant pas définie en $0$, $\R^{*}$ n'est pas un intervalle.
2) J'ai une idée. Soit $x \in \R$. Supposons qu'il existe $n \in \N$ tel que $f^{(n)} (x)=0$
Montrons par récurrence sur $k \in [|0,n|]$ que $f^{(n-k)} (x)$ est un polynôme. (Je n'ai pas résolu mon problème de savoir si c'est une récurrence descendante ou pas car je devrais commencer à $k=n$ mais ce n'est pas logique, je ne comprends pas trop)
Pour $k=0$, c'est évident.
Supposons que $f^{(n-k)} (x)$ est un polynôme. Posons $f^{(n-k)} (x) =\displaystyle\sum_{k=0}^n a_k x^k $
On a $f^{(n-(k-1)} (x) =\displaystyle\sum_{k=0}^n a_k \dfrac{x^{k+1}}{k+1} $ c'est bien un polynôme.
Mais l'idée est d'intégrer terme à terme $n$ fois pour obtenir $f$. $x$ étant fixé, c'est valable pour tout $x$ et $f$ est un polynôme.
Ok pour la 1 tu n'es pas tombé dans le piège bien joué. Pour le 2 tu es tombé dedans la tête la première.
JLapin c'est quoi l'OP ?
Une solution est disponible mais je ne l'ai pas lue.
La première ligne considère $k_1 = \max \{ k \in [|1,n|] \ | m_k > \alpha \}$ puis il s'agit de construire une suite finie $k_1 > k_2 > \cdots > k_r$
Puis ensuite faire un autre essai avec par exemple les ai qui valent 3;2;1 au lieu de 1;2;3, puis 3;1;2, puis 1;3;2, etc...
Que de salades! On part d'une liste $a_k, k=1..n$. On fabrique une liste $b_k, k=1..n$ et on se demande quel est le maximum de la fonction
$$\alpha \mapsto \alpha \times add('if'(b_k>\alpha,1,0), k=1..n).$$ On en trace le graphe.
C'est une ligne brisée. Les abscisses $x_k$ des points anguleux s'obtiennent en triant la liste $b_k$. Les ordonnées sont les $y_k=(n+1-k)\,x_k$ et $y'_k=(n-k) \,x_k$ \[ \begin {array}{lrrrrrr} a_k&32.0&74.0&4.0&27.0&8.0&69.0\\ b_k&32.0& 74.0& 39.0& 35.0& 29.0& 69.0\\ x_k&29.0& 32.0& 35.0& 39.0& 69.0& 74.0\\ y_k&174.0& 160.0& 140.0& 117.0& 138.0& 74.0\end {array} \]
On trie la liste initiale et on recommence.
\[ \begin {array}{rrrrrr} 74.0& 69.0& 32.0& 27.0& 8.0& 4.0 \\ 74.0& 71.50& 58.33& 50.50& 42.0& 35.67 \\ 35.67& 42.0& 50.50& 58.33& 71.50& 74.0 \\ 214.0& 210.0& 202.0& 175.0& 143.0& 74.0 \end {array}
\]
Il est tout à fait clair que les nouveaux $b_k$ majorent les anciens, et que le max de la nouvelle fonction est la somme de la liste initiale. Cet exercice est dont particulièrement difficile: colle forte, récurence forte et moutarde forte ne sont pas de trop pour prouver que effectif fois moyenne égal somme. Sans parler de Hardy-Littlewood, et même des frères Groucho.
Cordialement, Pierre.
Soit $k_1$ le plus grand entier $k$ tel que $m_k > \alpha$. Il existe $l_1$ tel que $a_{k_1-l_1+1} + \cdots + a_{k_1} >l_1 \alpha$
Soit $k_2$ le plus grand entier $\leq k_1 -l_1$ tel que $m_k > \alpha$. Il existe $l_2$ tel que $a_{k_2-l_2+1} + \cdots + a_{k_2} >l_2 \alpha$
Un souci de compréhension se pose déjà, pourquoi $k_1$ existe ?
Pourquoi un élément plus petit que $k_1 -l_1$ existe aussi ?
Rien que pour $n=2$ je ne sais pas le démontrer. Ca a l'air déjà très difficile.
Si $n=2$ alors $m_1=a_1$ et $m_2=\max (a_2,\dfrac{a_1+a_2}{2} )$
Soit $\alpha >0$ On doit montrer que le nombre d'entier $k$ tel que $a_1 > \alpha$ et $\max (a_2,\dfrac{a_1+a_2}{2} ) > \alpha$ est strictement plus petit que $\dfrac{a_1+a_2}{\alpha}$
Si $a_1 =2$ et $a_2=1$ alors $m_1=2$ et $m_2=2$
On a $\dfrac{a_1+a_2}{ \alpha} = \dfrac{3}{\alpha}$
https://les-mathematiques.net/vanilla/index.php?p=discussion/182918#Comment_182918
Je comprends l'exercice. Je ne sais pas le faire et ça ça arrive souvent en maths.
Mais le corrigé manque du rigueur. Et il n'explique pas des détails importants.
Il faudrait justifier l'existence des $k_i$.
Plus sérieusement, j'ai cité Hardy--Littlewood en réponse à JLapin (qui pensait Markov). La preuve correspond tout à fait au corrigé donné par OShine dans ce cas. Qu'est-ce que tu ne comprends pas ?
Dans 2 semaines, reprends le même exercice. Exactement le même.
Et essaie de le faire. Sans lire le corrigé, sans lire cette discussion.
Tout le monde sait que tu ne sauras pas faire cet exercice. Toi aussi tu le sais.
Ensuite la phrase en rouge je ne la comprends pas.
Lourrran j'ai vu des exercices de mpsi et mp dans mon livre bien plus durs que cet exercice.
L'énoncé est simple à comprendre.
Étrange cet exercice. C'est quand même dur.
Dire qu'un exercice est difficile, sans préciser plus, ça n'a pas de sens.
Un exercice est posé dans un certain contexte, à destination d'un certain public. Une fois le public visé précisé, et seulement à ce moment là, on peut dire que tel exercice est facile ou difficile.
Toi, tu passes d'exercices de niveau collège à des exercices de niveau maths spé, (sans passer par la case lycée, lol).
Et même sur les exercices de niveau collège, tu es en difficulté.
Quand tu regardes les exercices de niveau maths spé, tu n'es pas dans le public visé, tu n'es pas dans le domaine de définition.
Cordialament, Pierre.
https://docs.google.com/spreadsheets/d/1-OgC-lloD2BmSBLNKZqBJa9PcSbSTGtC24_5n9pVdtQ/edit?usp=sharing
Merci.