Sur la complétude

Bonjour, merci.
Tout fermé est stable par translation donc si je considère le fermé $A_{n}=B_{f}(x_{n},r_{n})$, $F_{n}=B_{f}(x_{n},r_{n}-a)$ est encore un fermé.
Et ce dernier est inclus dans $A_{n}$ pour tout $n$.
De plus les $F_{n}$ forme une suite décroissante de fermées non vides (puisque les $A_{n}$ sont non vides). Soit $n \in \mathbb{N}$, considérons le point $x_{n} \in F_{n}$, par décroissance de $F_{n}$, on a $\{x_{k}, k \in \mathbb{N} , k \geq n\}$ est inclus dans $B_{n}$, donc $Diam(\{x_{k}, k \in \mathbb{N} , k \geq n\} \leq Diam(F_{n})$, or le membre de droit tend vers $0$ quand $n$ tend vers $+\infty$, la suite est donc de Cauchy donc l'intersection des $B_{n}$ est non vide or celui-ci est dans l'intersection de tous les $A_{n}$ par décroissance des $F_{n}$ , $A_{n}$ et le fait que $F_{n}$ est inclus dans $A_{n}$ pour tout $n$.

Au fait, je viens de voir mon erreur, j'avais imaginé que $r_{n} \leq a$ or c'est l'inverse (il se faisait tard, j'avais écrit des bêtises), donc ma première idée n'était pas bonne.

Je pensais à dire que la suite est constante à partir d'un certain rang car la distance entre deux points de $\mathbb{N}$ peut-être inférieur à $\frac{1}{2}$ à partir d'un certain rang, mais ici il ne s'agit pas de la métrique usuelle si je ne m'abuse.

Ajout: je pense que j'ai fait un mauvais raisonnement, il faudrait que je prenne $\epsilon=\frac{1}{2}$

Je pensais à : 
pour tout $ \epsilon>0$ il existe un entier $N$ tel que $\forall p \geq p \geq N$, $d(x_{p},x_{q}) \leq \epsilon$
En prenant $\epsilon=\frac{1}{2}$, on a $\forall p \geq p \geq N$, $0\leq exp(-\lvert x_{p}-x_{q})\rvert \leq 0$

Bon enfin pour la dernière question :
Montrons que la suite des $(A_{3^k})_{k}$ est décroissante au sens de l'inclusion.
Déjà, il faut remarquer: 
On va donner une caractérisation sur les éléments de la boule fermée $A_{3^k}$.
Soit $y \in \mathbb{N}$.
$y \in A_{3^k}$ si et seulement si $d(3^k,y)\leq \frac{1}{2}+e^{-2.{3^k}}$:
deux cas si $y=3^{k}$, on trouve une inégalité vraie
donc on va regarder le cas où $y \neq 3^{k}$. Alors par définition de $d$, on a $e^{-\lvert 3^{k}-y\rvert} \leq e^{-2.{3^k}}$ (un peu de log ).
On trouve que $y \geq 3^{k+1}$
Alors $y \in A_{3^k}$ ssi $y \geq 3^{k+1}$ ou $y=3^{k}$ . Modification après le message de Raoul.S
Soit $k \geq 0$
Soit $y \in \mathbb{N}$
$y \in A_{3^{k+1}}$ ssi $y \geq 3^{k+2} $ ou $y=3^{k+1}$ (selon les cas) donc $y \in  A_{3^k}$.
Donc la suite est décroissante au sens de l'inclusion.
Montrer que l'intersection est vide.
Raisonnons par l'absurde.
Supposons qu'il est non vide. 
Par définition, il existe un entier $l$ tel que pour tout $k \in \mathbb{N}$, $l$ est élément de $A_{3^k}$.  Or par caractérisation des éléments de $A_{3^k}$: 
il existe un entier $l$ tel que pour tout $k \in \mathbb{N}$, $l \geq 3^{k}$. Donc la suite $(3^{k})_{k}$ est majorée. Ce qui est absurde car la suite diverge.
Conclusion: L'intersection des $A_{3^k}$ est vide.
Pour la conclusion, est-ce en rapport avec les distances équivalentes ? Je ne comprends pas cette question.

Ah oui faute manipulation des quantificateurs.
Je reprends donc pour le caractère vide de l'intersection: 
Si l'intersection des $A_{3^k}$ est non vide, il existe un entier un entier $l$ tel que pour tout $k\geq0$  $l \in A_{3^k}$. 
donc il existe un entier $l$ tel que pour tout $k \geq 0$, ($y=3^k$ ou $y \geq 3^{k+1})$
1er cas : $l=3^k$ pour tout entier $k\geq 0$ absurde
2eme cas: je garde le même argument que le message précédent.
Mais je ne comprends pas ta remarque Raoul.S