Nombres à 5 chiffres

OShine · November 2021

Bonjour
Un exercice du concours kangourou 2021 dont je ne dispose pas de solution. Ma réponse est-elle correcte ?

Soit un nombre entier naturel dont les chiffres, lus de gauche à droite, augmentent d'abord puis diminuent (2 chiffres adjacents n'étant jamais égaux).
Combien existe-t-il de nombres de la sorte à cinq chiffres dont la somme des chiffres est $9$ ?

Mon raisonnement.
Le premier chiffres est inférieur ou égal à 7 forcément. Il y a donc 8 choix (de 0 à 7)
Pour le deuxième chiffre, il doit être strictement supérieur ou premier, il y a donc 7 choix.
Pour le troisième chiffre, il y a 6 choix.
Pour les quatrièmes et cinquième chiffre, ils sont égaux aux second et premier donc 1 choix.
Au total, il y a $8 \times 7 \times 6 \times 1 \times 1 =336 $ possibilités.

Je cherche maintenant les nombres de la sorte tels que la somme des chiffres est $9$.
Le premier chiffre est forcément strictement inférieur à $2$, sinon on aurait $2+3+4+3+2 >9$. Le premier chiffre est donc 0 ou 1.
Le deuxième chiffre est strictement inférieur à 3 sinon c'est impossible. Il vaut 2 sinon la somme des chiffres est trop petite. Il ne peut pas valoir 0 car il est supérieur au premier.
Le troisième chiffre est strictement inférieur à 4 sinon c'est impossible. Il vaut forcément 2 ou 3 car il est supérieur au deux premiers chiffres.

Le nombre $\boxed{1 2 3 2 1}$ convient et c'est l'unique possibilité.

mav1 · November 2021

Un nombre à 5 chiffres qui commence par un zéro ne s'appelle-t-il pas un nombre à 4 chiffres ?

JLapin · November 2021

J'ai au moins 14310 qui fonctionne aussi.

Et un autre qui commence par 2 que je te laisse trouver.

OShine · November 2021

Oui c'est vrai bien vu.

Je crois que j'ai mal compris l'énoncé, le chiffre du milieu est quelconque ? Il peut être égal au deuxième chiffre ou au quatrième ?

JLapin · November 2021

L'énoncé te dis "ça augmente puis ça diminue".

Il ne dit pas qu'il y a une symétrie dans les variations.

bisam · November 2021

def les_bons():
    bons = []
    for n in range(10000, 100000):
        a,b,c,d,e = [int(i) for i in str(n)]
        if sum((a,b,c,d,e)) == 9 and b > a and d > e and (c > b or (c < b and c > d)):
            bons.append(n)
    return bons

C'est pas de la tarte pour arriver à écrire du code correctement dans le nouveau forum.

lourrran · November 2021

Le premier chiffres est inférieur ou égal à 7 forcément. Il y a donc 8 choix (de 0 à 7)
Pour le deuxième chiffre, il doit être strictement supérieur ou premier, il y a donc 7 choix.
hum hum
Pour le troisième chiffre, il y a 6 choix.
à nouveau hum hum !

Tu calcules un 336 qui est totalement faux. Premier mauvais point. Même avec la symétrie que tu ajoutes à l'énoncé, même en considérant qu'un nombre de 5 chiffres peut commencer par 0, c'est faux.
Et tu ne t'aperçois même pas que ce résultat de 336 ne te sert à rien dans la suite de ton raisonnement. Deuxième mauvais point.

Correction du code de @bisam, trop de cas étaient pris en compte.

<code><div></div><pre class="CodeBlock"><code><div>def les_bons():</div><div>&nbsp; &nbsp; bons = []</div><div>&nbsp; &nbsp; for n in range(10000, 100000):</div><div>&nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; a,b,c,d,e = [int(i) for i in str(n)]</div><div>&nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; if sum((a,b,c,d,e)) == 9 and b > a and d > e:&nbsp;</div><div>&nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; if ( c>b and c>d ) or ( b >c and c> d ) or (b<c and c <d ):</div><div>&nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; bons.append(n)</div><div>&nbsp; &nbsp; return bons</div><div>&nbsp; &nbsp;&nbsp;</div><div>print ( les_bons())</div>

[@lourrran : je ne suis pas arrivé à présenter correctement ce code python.

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bisam · November 2021

Effectivement, je crois avoir oublié d'éliminer la possibilité a<b<c=d>e.

bisam · November 2021

Doublon du message précédent posté par erreur suite à une erreur 504.

OShine · November 2021

D'accord merci. J'essaie de faire une vraie démonstration.
Notons le nombre recherché $xyztu$ de sorte que $x+y+z+t+u=9$
On a d'après les conditions de l'énoncé $x<y$ et $t<u$. Ainsi, $x+y+z+t+u < 2y +z +2u $ et donc $x+y+z+t+u =9 > 2x +z+ 2t$
Soit $\boxed{2x+z+2t < 9}$
On sait que $0<x<4$ car sinon $x+y+z+t+u >9$. Ainsi $\boxed{x \in \{1,2,3 \}}$
De même $\boxed{t \in \{1,2,3 \}}$ Il y a donc 9 cas possibles.
Après dans chaque cas, il y a plein de cas, je me perds dans un nombre incalculable de cas.
J'ai peut être raté une astuce

lourrran · November 2021

Tu as confondu t et u. Pas grave.
Tu dis 3 possibilités pour x, et 3 possibilités pour u donc 9 possibilités pour (x,u)
Oui et non.
On peut multiplier quand ça sert à quelque chose, c'est à dire quand les 2 cases sont indépendantes.
Quand x=3, sachant que le total doit donner 9, x=3 consomme beaucoup d'espace, et donc limite les possibilités pour u.
Donc le 3x3 ne mène nulle part.

En plus, c'est un exercice de niveau collège, tu utilises un outil que les collégiens ne connaissent pas, et qui n'est pas adapté.
si x=3, forcément y vaut au moins 4, x+y donne 7 ou 8 ou 9, et donc z,t,u doivent être 3 chiffres, dont la somme donnerait 0 ou 1 ou 2.
Avec les contraintes données, on ne peut pas trouver de triplet (z,t,u) qui convient.
si x=2 et y=3 ...pas énormément de possibilités pour (z,t,u)
si x=2 et y=4 , pareil, on trouve très vite les triplets (z,t,u) qui conviennent.
Il y a une dizaine de cas à explorer pour le couple (x,y). 5 minutes de petits calculs.

OShine · November 2021

D'accord merci.

On a forcément $y >x$ ce qui réduit les possibilités.

Si $x=1$ et $y=2$ alors $12051$, $12042$, $12132$, $12321$, $12420$, $12510$ conviennent.

Si $x=1$ et $y=3$ alors $13032$, $13131$, $12420$, $12510$ fonctionnent.

Si $x=1$ et $y=4$ alors $14031$, $14040$, $14121$, $14130$ fonctionnent.

Si $x=2$ et $y=3$ alors $23040$, $23031$, $23130$, $23121$ fonctionnent.

Si $x=2$ et $y=4$ alors $24030$, $24021$, $24120$, $24210$ fonctionnent.

Si $x=3$ et $y=4$ alors $34020$ convient.

Les nombres recherchés sont trop nombreux. J'ai sûrement faux

J'ai trouvé un corrigé qui en donne que 7.

JLapin · November 2021

12051 ne convient pas...

OShine · November 2021

Je ne comprends pas pourquoi 12051 ne marche pas.

On a des chiffres adjacents différents et $1<2$ tandis que $5>1$

lourrran · November 2021

Pffffffffff , si j'étais prof et que j'avais un élève comme toi, je démissionnerais tout de suite.

Soit un nombre entier naturel dont les chiffres, lus de gauche à droite, augmentent d'abord puis diminuent .

Augmentent , puis diminuent... Dans ta 1ère réponse, tu avais su traduire ça correctement, mais tu faisais des calculs faux, sans aucun intérêt.
Maintenant, tu ne peux plus te tromper sur les calculs car on t'a tout dit, mais tu ne comprends plus l'énoncé de l'exercice !

OShine · November 2021

Ok merci.

Il reste donc 12321, 12420, 12510, 24210. Et j'en ai oublié, j'ai aussi oublié le cas $x=1$, $y=5$ :

Il me manque 13410, 14310, 15210,

Finalement il y 7 nombres recherchés.

Le problème est que j'avais mal compris l'énoncé

nicolas.patrois · November 2021

J’en trouve 14.

#!/usr/bin/python3

from itertools import product
signe=lambda x: x and (1, -1)[x<0]

l=[]
for n in product("0123456789",repeat=5):
  p=[signe(int(n[i])-int(n[i+1])) for i in range(4)]
  if p[0]>=0 or p[-1]<=0 or sum(map(int,n))!=10 or n[0]=="0":
    continue
  while p and p[0]==-1:
    del p[0]
  while p and p[-1]==1:
    del p[-1]
  if not p:
    l.append("".join(n))
print(len(l),*l)

Réponse :

14 12340 12421 12430 12520 12610 13420 13510 14320 15310 16210 23410 24310 25210 34210

Zgrb · November 2021

La somme doit faire 9, et non 10 !

#R
p<-function(){
for(a in 1:8){for(b in (a+1):9){for(c in 0:9){
for(d in 1:9){for(e in 0:(d-1)){if(a+b+c+d+e==9){
if(b>c && c>d){print(10000*a+1000*b+100*c+10*d+e)}
if(b<c && c>d){print(10000*a+1000*b+100*c+10*d+e)}
if(b<c && c<d){print(10000*a+1000*b+100*c+10*d+e)}}}}}}}}

> p()
[1] 12321
[1] 12420
[1] 12510
[1] 13410
[1] 14310
[1] 15210
[1] 24210

nicolas.patrois · November 2021

Dans ce cas j’en trouve sept :

7 12321 12420 12510 13410 14310 15210 24210

OShine · November 2021

Le code de Zgrb m'a l'air compréhensible et efficace. Il y a bien 3 cas à distinguer pour le chiffre du milieu.
L'instruction p<-function() sert à quoi ? Pourquoi le résultat final affiche des [1] ?
Je ne trouve rien sur le net pour function()

Par contre Nicolas Patrois, ton code je n'ai pas bien compris.
Rien que la première ligne je ne comprends pas ce que fait : signe=lambda x: x and (1, -1)[x<0]
C'est quoi p[-1] ?

nicolas.patrois · November 2021

Le code de Zgrb n’est pas du Python.

Le mot clé lambda permet de fabriquer une fonction anonyme, sauf qu’ici, je la nomme signe parce que oui, il n’y a pas de fonction signe en Python (à part dans numpy). As-tu essayé de jouer avec cette fonction ?

p[-1] est le dernier élément de l’itérable p.

Rescassol · November 2021

Bonjour,

p<-function() définit une fonction et l'appelle p.

Comme son nom l'indique signe=lambda x: x and (1, -1)[x<0] définit la fonction signe d'un nombre, c'est à dire +1 si x>0, 0 si x=0 et -1 si x<0. p[-1] est le dernier terme de la liste p.
Si tu ne connais pas Python, il te faut d'abord l'apprendre.
Ensuite, taper "Python lambda" dans google devrait être à ta portée.
Tu aurais d'ailleurs pu tester signe(x) dans n'importe quel environnement Python avec diverses valeurs de x.

Cordialement,
Rescassol

noobey · November 2021

Un peu tirée par les cheveux la fonction signe !
signe = lambda x : 0 if x==0 else x//abs(x)

nicolas.patrois · November 2021

x/abs(x) est un flottant !

noobey · November 2021

Corrigé !

nicolas.patrois · November 2021

À mon avis, une division est plus coûteuse qu’une inégalité mais avec Python, on peut avoir des surprises.

Zgrb · November 2021

C'est du R en effet.
Tu peux apprendre en autodidacte, il y a plein de bons sites pour cela, google t'aidera à en trouver. Après si tu ne fais pas de stats, je te conseille de plutôt diriger tes efforts vers Python.

OShine · November 2021

Je ne fais pas de stats ok merci. Je prendrai un livre sur Python j'arrive mieux à apprendre sur des livres.

bisam · November 2021

J'ai donné l'exercice à mon fils, en CE2.

Il a trouvé 12321 en 30s, puis 12420 à peine 30s plus tard et en 5 minutes il a trouvé les 5 autres et était même capable de m'expliquer qu'il ne pouvait pas y en avoir d'autres.

OShine · November 2021

Bisam c'est peut-être un surdoué.
Je doute que mes élèves de 4ème 3ème le réussissent même en devoir maison.
J'ai compris comment définir une fonction lambda (j'ai recherché) mais je ne comprends pas la syntaxe x and (1, -1)[x<0] ?
Je ne trouve rien sur internet en tapant ce passage du code. Je dois chercher quoi comme notion pour le comprendre ?

nicolas.patrois · November 2021

Tu peux faire sans lambda avec def et return, ça merchera aussi bien.

x and truc vaut zéro si x ou truc vaut zéro.

(1,-1) est un couple (tuple à deux éléments), [x<0] vaut vrai ou faux (1 ou 0) selon si x<0 ou non.

Au lieu de t’acharner à comprendre des expressions idiomatiques comme ça, écris toi-même une fonction toute simple (avec if) qui renvoie le signe.

OShine · November 2021

C'est pas lambda qui me pose problème mais les expressions [x<0] collés avec le (1,-1) ça ne m'a pas l'air intuitif, je n'ai pas compris ton explication du
x and (1, -1)[x<0]

J'ai trouvé une solution simple sur le net : sign = lambda x: bool(x > 0) - bool(x < 0)

Sinon j'ai trouvé ma propre solution, elle fonctionne je l'ai testée sur Python.

def s(x):

if x ==0:

return 0

elif x!=0:

return int(x/abs(x))

lourrran · November 2021

Si tu veux comprendre le programme de Zgrb, tu installes Python sur ton PC, ou tu utilises un site qui permet d'exécuter des programmes Python.
Et tu joues, en écrivant des programmes de 4 lignes, puis de 5 lignes ... puis un peu plus compliqués.
Tu regardes ce que fais cette fameuse instruction.

Il faut mettre les mains dans le cambouis, il n'y a pas d'autre méthode. Mais ça veut aussi dire qu'il faut réfléchir.

raoul.S · November 2021

OShine une petite code review 🤓
def s(x):

if x ==0:

return 0

elif x!=0:

return int(x/abs(x))

def s(x):

if x == 0:

return 0

return int(x/abs(x))

OShine · November 2021

Raoul.S ça change quoi au juste ?

Lourrran je voulais juste savoir ce que signifie x and (1, -1)[x<0] mais ça reste du chinois pour moi cette syntaxe et on ne trouve rien sur le net qui l'explique.

Le code de Nicolas Patrois m'a l'air compliqué, je pense que Bisam a donné un code plus simple. Zgrb je comprends tout le code mais ce n'est pas du Python apparemment.

Bisam, que fait la dernière ligne ? Je sais que str donne une chaîne de caractères mais je n'ai pas compris la dernière ligne.
La ligne 1 on crée une fonction.
La ligne 2 on crée une liste vide.
La ligne 3 on prendre les nombres entre 10 000 et 99 000

def les_bons():
    bons = []
    for n in range(10000, 100000):
        a,b,c,d,e = [int(i) for i in str(n)]

nicolas.patrois · November 2021

OShine a dit :

Lourrran je voulais juste savoir ce que signifie x and (1, -1)[x<0] mais ça reste du chinois pour moi cette syntaxe et on ne trouve rien sur le net qui l'explique.

Pourtant, je l’ai trouvée presque mot à mot sur internet.

Essaie 0 and 4, 4 and 5, 0 or 1, etc.

Ensuite, crée un tuple t=(2,3,4,5). Obtiens t[0], t[1], t[2]. Essaie ensuite t[True] et t[False] puis t[0<1] et t[1<0].

Si tu veux du plus simple :

def signe(x):
  if x==0:
    return 0
  if x<0:
    return -1
  return 1

Rescassol · November 2021

Bonjour,

str(n) transforme l'entier n en une chaîne de caractères.
Par exemple str(12345) est la chaîne '12345', c'est juste un changement de type pour pouvoir faire fonctionner le in.
Enfin a,b,c,d,e = [int(i) for i in str(n)] met les chiffres de l'entier n dans 5 variables a,b,c,d,e

Cordialement,
Rescassol

nicolas.patrois · November 2021

OShine a dit :

La ligne 3 on prendre les nombres entre 10 000 et 99 000

Non, entre 10_000 et 99_999 (le tiret du bas est utilisable comme ça en Python).

OShine · November 2021

Rescassol merci.

Nicolas Patrois d'accord merci. Un livre sur Python pour lycéen me permettrait d'apprendre les bases.

nicolas.patrois · November 2021

Je conseille Python pour les kids (qui va quand même jusqu’à créer des classes) et le manuel de Gilles Dowek pour ISN, la version pour Python (trouvable en pdf sur le site de l’INRIA).

Rescassol · November 2021

Bonjour

À la conquête des maths avec Python, Peter Farrell - EYROLLES.

Dès 14 ans.

Cordialement,

Rescassol

lourrran · November 2021

Tu as certainement eu des cours d'initiation à la programmation.
Est-ce que tes bases en programmation sont plus solides ou moins solides que tes bases en mathématique ?

Lauret · November 2021

7 [12321, 12420, 12510, 13410, 14310, 15210, 24210]
=======================

l = []

r = range(10_000,99_999)

for n in r:

m = str(n)

nc = len(m)

if sum(int(c) for c in m) != 9:continue

if any(m[i] == m[i+1] for i in range(nc-1)):continue

trouve = False

for j in range(1,nc-1):

if all(m[i] < m[i+1] for i in range(0,j)) and all(m[i] > m[i+1] for i in range(j,nc-1)):

trouve = True

break

if trouve:l += [n]

print(len(l),l)

nicolas.patrois · November 2021

Lauret, tu peux faire sans la variable trouve !

celine_L · November 2021

OShine a dit :
Par contre Nicolas Patrois, ton code je n'ai pas bien compris.
Rien que la première ligne je ne comprends pas ce que fait : signe=lambda x: x and (1, -1)[x<0]
C'est quoi p[-1] ?

Je ne suis pas très avancée en python, mais en prenant la peine et le temps d'étudier le code de Nicolas Patrois, j'ai appris des concepts nouveaux pour moi presque à chaque ligne.

OShine · November 2021

Celine_L et tu trouves où les explications des syntaxes ? Certaines expressions ne donnent rien en cherchant sur Google.
Lourrran vu que je n'ai pas bossé la programmation depuis plus de 10 ans, je pense être meilleur en maths qu'en programmation.
Étant prof en collège, je manipule plutôt Scratch que Python.

nicolas.patrois · November 2021

Tu copies les expressions, tu les rentres telles quelles dans un moteur de recherche, tu joues avec…

celine_L · November 2021

OShine a dit :

Celine_L et tu trouves où les explications des syntaxes ? Certaines expressions ne donnent rien en cherchant sur Google.

Comme dit Nicolas Patrois, j'ouvre un notebook, je copie les expressions et je les teste avec différentes valeurs pour comprendre leur fonctionnement.
Et disons aussi que mon premier réflexe n'est pas de me précipiter sur le forum pour dire que je n'y comprends rien.

Nombres à 5 chiffres

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