Qu'est-ce que l'analyse non-standard ?

AlainLyon
AlainLyon
Modifié (November 2021) dans Fondements et Logique
Bonjour, j'ai eu un jour dans les mains un livre à la couverture bleu ciel qui traitait de l'analyse non-standard. Je constate que l'intitulé analyse non-standard n'existe dans aucun module de cours universitaire en France, alors j'ai trois questions.
1) Quels sont les fondements axiomatiques de l'analyse non-standard ?
2) Pourquoi n'est-elle pas enseignée en France ?
3) Dans quels pays est-elle enseignée, s'il en existe un ?
Les mathématiques ne sont pas vraies, elles sont commodes.
Henri Poincaré

Réponses

  • gerard0
    gerard0
    Cherche sur ton moteur de recherche préféré ...

    Pourquoi demander à d'autres ce que tu peux trouver seul ??? Fainéantise ou complexe de toute puissance (*) ?

    (*) en général, il disparaît entre 4 et 6 ans.
  • AlainLyon
    AlainLyon
    Pour autant que je sache l'analyse non-standard fait partie des mathématiques. Où est "le complexe de toute puissance" à demander si des membres de ce forum participatif la connaissent ou l'ont pratiqué?
    Les mathématiques ne sont pas vraies, elles sont commodes.
    Henri Poincaré
  • Mathurin
    Mathurin
    Bonjour,
    Sur l'analyse non standard je conseille le livre de Georges Reeb G Reeb :

    Sur son relatif faible enseignement à l'université, le problème me semble être qu'elle ne permet pas pour l'instant de
    découvrir beaucoup de démonstrations auxquelles l'analyse classique (standard) ne pourrait répondre.
    On peut lire sur Wikipédia :
    wikipédia a écrit:
    Il y a deux types d'applications :

    il a été établi qu'un énoncé classique, possédant une démonstration dans le cadre de l'analyse non standard, était vrai dans le cadre des mathématiques classiques. La situation est tout à fait comparable à celle des mathématiciens d'avant 1800, qui s'autorisaient à utiliser les nombres imaginaires à condition que le résultat final soit bien réel. L'analyse non standard permet donc de donner de nouvelles démonstrations (souvent plus simples) de théorèmes classiques ;
    l'analyse non standard permet en outre de manipuler les concepts nouveaux de nombre infiniment petit ou d'infiniment grand qui ont posé tant de problèmes aux mathématiciens et qui avaient été bannis de l'analyse. Elle est donc plus générale que l'analyse classique, de même que l'analyse complexe est plus générale que l'analyse réelle ;
    cependant, l'analyse non standard a eu à ce jour peu d'influence. Peu de théorèmes nouveaux ont été mis au point au moyen de celle-ci, et pour le moment, elle constitue essentiellement une réécriture de l'ensemble de l'analyse au moyen de nouveaux concepts. Il convient de préciser qu'on ne saurait s'attendre à de nouveaux résultats en analyse élémentaire ; des applications intéressantes dépassent par conséquent le niveau de cet article, et doivent être cherchées, par exemple, du côté de l'étude des systèmes différentiels « lents-rapides » et de leurs « canards ».
    Une réflexion pourrait être menée sur l'aspect pédagogique de son enseignement par rapport à celui de l'analyse standard.
    Cordialement
  • gerard0
    gerard0
    Donc c'est de la fainéantise ...

    Vues tes autres interventions récentes, c'est surtout pour bavarder que tu poses cette question.
  • zephir
    zephir
    @gerard0 : Laissons bavarder, libre à chacun de participer ou non.
    Pour revenir à la question, je dirais, pour ce que j'en sais, que l'analyse non standard ne prospère pas.
  • christophe c
    christophe c
    Le "vrai" handicap de l'ANS c'est qu'il faut passer quelques heures fastidieuses à s'y entraîner avant de s'amuser avec, et qu'elle manque cruellement de formateurs. Pas sûr qu'il y ait plus de 10 MCF en France qui la "parlent couramment".

    Partant de là...

    Pas sûr du tout que sa conservativite au dessus de ZFC soit la cause de son manque de succès.
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • Jean--Louis
    Jean--Louis

    Salut à tous, Christophe tu trouves pas que l'ANS est super intuitive. Et que donc pas besoin de s'entrainer beaucoup. Le plus dur est la partie théorique surtout celle de Robinson.

    Bonne journée.

    Jean-Louis.

  • pldx1
    pldx1
    Modifié (November 2021)

    Bonjour,

    L'autre handicap de l'ANS est le côté affligeant de certaines campagnes de marketing dont elle est l'objet. Si l'on veut de l'intuition, la méthode des fluxions, consistant à faire $k^2=0$ puis à diviser par $k$ est largement meilleure, et appuyée sur une très longue tradition. Si l'on veut des preuves, il faut bien plus que des affirmations à la sauce "intuitivement, on voit bien que". Quant à "le plus dur c'est la théorie", quelle bonne blague ! Si l'on enlève la théorie, il ne reste plus rien... Sur le modèle: "la théorie des groupes sur une cubique, c'est très simple: enlevons la théorie, et il n'y aura plus tellement besoin de s'exercer.

    Cordialement, Pierre

  • Jean--Louis
    Jean--Louis
    Bonjour à tous, Pierre , je ne te comprends pas très bien. Prenons le working mathematician, comme on dit , qui fait par exemple de l'algèbre homologique. S'intéresse-t-il aux fondements de la théorie des ensembles, qui sont quand même le support de ce sur quoi il travaille?
    Cordialement.
    Jean-Louis.
  • pldx1
    pldx1
    Bonsoir,

    Jean-Louis tient à nous faire savoir qu'il ne comprend pas très bien pourquoi  sa tentative de publicité pour l'Analyse Non Standard est affligeante. Bon, ben voilà, il ne comprend pas très bien. De toutes façons, le plus dur, c'est la théorie. 

    Cela devait sûrement être dit.

    Cordialement, Pierre.
  • Héhéhé
    Héhéhé
    Modifié (November 2021)
    Soit on fait des mathématiques, donc on ne peut pas mettre la théorie sous le tapis, et dans ce cas l'analyse non-standard n'est pas enseignable avant un niveau très élevé (L3? M1? je ne sais pas), soit on veut juste un outil pratique pour faire des calculs, et dans ce cas autant faire les calculs à la Newton ou à la physicien, c'est aussi efficace.

    Sachant qu'en plus l'analyse non-standard n'est pas plus puissante que la version standard, on voit vite pourquoi peu de gens s'y intéressent et l'utilisent.
  • Foys
    Foys
    Héhéhé a dit :soit on veut juste un outil pratique pour faire des calculs, et dans ce cas autant faire les calculs à la Newton ou à la physicien, c'est aussi efficace.
    Ces calculs sont en fait ce que valide l'analyse non standard qui sert surtout de caution à "soit e un petit nombre".
    Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
  • Jean--Louis
    Jean--Louis
    Je n'osais pas le dire!
    Cordialement.
    Jean-Louis.
    Il y a un livre que je trouve génial sur l'ANS c'est "et pourtant ils ne remplissent pas N!" de Claude Lobbry.
  • Poirot
    Poirot
    Je n'avais strictement rien compris au livre de Lobbry, qui décide d'adopter un style délirant, plus pour se donner un genre que pour faire passer un message il me semble...
  • Jean--Louis
    Jean--Louis
    Il y a aussi  " l'analyse infinitésimale. Le calculus redécouvert" de j. Bair et V. Henry. Avec une approche intuitive par les angles corniculaires. J'ai beaucoup apprécié.
    Cordialement.
    Jean-Louis.
  • pldx1
    pldx1
    "J'ai beaucoup apprécié." Cela ne m'étonne pas. Un petit coup d'oeil à
    Angles corniculaires et nombres superréels     par J. Bair et V. Henry montre à quel point définir les angles corniculaires par le développement de Mac Laurin de la fonction d’estimation des dits angles est une approche intuitive vers la notion de nombres infinitésimaux. De toutes façons, le plus dur c'est la théorie: une fois que l'on a les séries de Laurent, le reste va plus vite.
  • petit-o
    petit-o
    Modifié (November 2021)
    Bonjour
    Pour ceux qui sont intéressés par les fondements de l'ANS, l'article suivant offre un panorama vraiment très intéressant, même s'il date d'une vingtaine d'années : http://people.dm.unipi.it/dinasso/papers/07.pdf
  • samok
    samok
    Modifié (November 2021)
    Bonsoir,
    je suis prof en lycée : je fais de l'analyse standard avec mes élèves.
    Qu'est-ce que l'analyse ?
    (Le contraire de l'algèbre ? reviens Jacquot, reviens Greg :) )
    Bien à vous.
  • gerard0
    gerard0
    Modifié (December 2021)
    Tiens, Samok, tu es de retour ?
    Je me réjouis de ce retour.
    Cordialement.
  • Martial
    Martial
    Modifié (December 2021)
    @samok : au niveau lycée l'analyse non standard c'est comme l'analyse standard, sauf que par exemple pour la définition de la continuité en $a$, au lieu de dire "$\forall \varepsilon >0$, blablabla" tu dis "dès l'instant que $x$ augmente de $a$ d'un infiniment petit, $f(x)$ augmente de $f(a)$ d'un infiniment petit".
    Quant à donner une définition de l'analyse, je ne suis pas compétent. En tous cas ce n'est certainement pas le contraire de l'algèbre, cette dernière expression ne voulant rien dire.
  • Martial
    Martial
    Il y a un bug au niveau de l'aperçu. Quand on clique sur "aperçu", on retrouve le texte tel qu'on l'a tapé, et non pas la compilation latex.
  • Foys
    Foys
    Modifié (December 2021)
    Les noms des domaines mathématiques sont à peu près aussi arbitraires que ceux des pays; ils ont émergé après ajouts successifs anarchiques et contrairement aux derniers, se recoupent allègrement. On pourrait dire que l'analyse est l'étude des nombres réels, l'algèbre étant plutôt celle des structures.
    Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
  • Calli
    Calli
    Bonjour,
    Foys a dit :
    On pourrait dire que l'analyse est l'étude des nombres réels, l'algèbre étant plutôt celle des structures.
    Mais l'analyse étudie aussi les nombres complexes (ex: analyse de Fourier, analyse complexe), et on peut faire avec $\Bbb R$ et $\Bbb C$ pas mal d'algèbre. Je dirais plutôt que l'analyse est l'étude (rigoureuse) des différentes formes d'approximations infinitésimales. "Rigoureuse" par opposition avec l'analyse à la physicienne. Ça inclut les limites, les dérivées, les intégrales et tout ce qui en découle : classes de régularité de fonctions, équa diffs, séries, etc. Pour l'algèbre, je ne n'oserai pas me prononcer à la place d'un algébriste. :mrgreen:
    De toute façon, pour ces choses, toute définition a ses limites $-$ je suis sûr que tu seras d'accord Foys $-$ et certains ne seront probablement pas satisfaits par ma définition.  ;)
  • Foys
    Foys
    Modifié (December 2021)
    Calli a dit :Mais l'analyse étudie aussi les nombres complexes (ex: analyse de Fourier, analyse complexe)
    Je m'attendais à cette objection :mrgreen: et j'en profite pour sortir mon joker préféré.
    $\C=\R^2$

    Cela étant tu as tout à fait raison quand tu dis que toute définition à ses limites (surtout pour ces sujets: il n'y a pas plus flou que les frontières entre les différents domaines des maths. Que penser par exemple de cette discipline: https://fr.wikipedia.org/wiki/Analyse_alg%C3%A9brique fortement consommatrice d'outils cohomologiques/faisceautiques ?), j'espère que mon message n'était pas perçu comme trop autoritaire.

    Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
  • Calli
    Calli
    J'ai pensé à cette objection. Elle est fondée quand on étend des propriétés analytiques réelles à $\Bbb C$ en décomposant en partie réelle et partie imaginaire (ex: les théorèmes sur des fonctions continues ou dérivables $\Bbb R\to\Bbb C$), mais pour l'analyse complexe et l'analyse de Fourier, on utilise vraiment la structure de corps de $\Bbb C$ (et l'existence de l'exponentielle complexe) et pas juste $\Bbb R^2$.  ;)
    Foys a dit :
    j'espère que mon message n'était pas perçu comme trop autoritaire.
    Non, ne t'inquiètes pas.
  • Dreamer
    Dreamer
    Bonjour.
    Si l'analyse non standard ne sert que de caution pour tout ce qui n'est pas assez formalisé en analyse standard, pourquoi ne pas considérer que c'en est une extension dont la seule raison d'être est de formaliser l'analyse standard.
    Après, pour le fait que cela ne donne rien de plus que l'analyse standard, il me semble que c'est un peu le serpent qui se mord la queue : pour pouvoir étudier tout ce que pourrait apporter l'analyse non standard en plus, il faudrait l'étudier, et dans cette époque utilitariste, étudier quelque chose qui n'apporte rien à priori est relativement mal perçu.
    À bientôt.

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  • Foys
    Foys
    Modifié (December 2021)
    Dreamer a dit :
    Après, pour le fait que cela ne donne rien de plus que l'analyse standard, il me semble que c'est un peu le serpent qui se mord la queue : pour pouvoir étudier tout ce que pourrait apporter l'analyse non standard en plus, il faudrait l'étudier, et dans cette époque utilitariste, étudier quelque chose qui n'apporte rien à priori est relativement mal perçu.
    Bonjour
    Soient $(P_1,T_1)$,  $(P_2,T_2)$ deux "systèmes formels". Etant donné $i=1$ ou $2$, $P_i$ désigne "l'ensemble des phrases que l'on peut écrire dans $(P_i,T_i)$", et pour tout $f\in P_i$, $T_i(f_i)$ signifie que "$f$ est démontrable dans $T_i$" (autrement dit il existe une certaine suite/ un arbre/un fichier informatique tel(le) que blabla).
    On dit que $(P_2,T_2)$ est conservatif sur $(P_1,T_1)$ (ou encore que $(P_2,T_2)$ est une "extension conservative" de $(P_1,T_1)$) s'il existe une application (un programme informatique: tout est algorithmiquement constructif dans ces considérations) $\theta$ de $P_1$ dans $P_2$ telle que pour tout $f\in P_1$, $T_1(f)$ si et seulement si $T_2 \left ( \theta (f)\right )$.
    Ceci s'applique dans les situations où le langage de $(P_2,T_2)$ est plus riche que celui de $P_1$; $\theta (f)$ est la traduction de $f$ dans $P_2$.
    La conservativité n'est pas juste une concession utilitariste: c'est la propriété cruciale qui fonde la légitimité de l'usage de $(P_2,T_2)$  dans l'établissement de résultats relevant a priori de $(P_1,T_1)$.

    L'analyse non standard (sous sa version "Internal Set Theory" d'Edward Nelson) est une extension conservative de la théorie des ensembles $ZFC$.
    La traduction est évidente (l' IST ajoute simplement un nouveau symbole de prédicat "Std", les phrases s'injectent telles qu'elles).
    Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
  • pldx1
    pldx1
    Bonjour.

    On part d'une famille de droites $\Delta(\nu)$ dépendant de façon rationnelle  d'un paramètre unimodulaire $\nu$. On trouve le point mobile de l'enveloppe en coupant par la droite $\Delta(\nu\, \tau)$. Comme de juste, la quantité $\tau-1$ vient se mettre en facteur. On supprime ce facteur et on fait $\tau=1$. Et voilà, c'est fini.  
    Comme on le voit, le super-proche est super-intuitif. 

    Cordialement, Pierre.
  • Jean--Louis
    Jean--Louis
    Bonjour ,
    j'ai cru comprendre que les étudiants (élèves?) avaient du mal avec les delta-epsilon. Alors l'ANS est faite pour eux. yen a plus.
    Bonne journée. Jean-Louis.
  • AD
    AD
    En ce moment on est plutôt avec des delta-omicron. Alors l'ARS est faite pour cela. :p
  • zeitnot
    zeitnot
    Hihi, AD, en pleine forme !
    Karl Tremblay 1976-2023, je t'appréciais tellement.
  • Jean--Louis
    Jean--Louis
    Modifié (December 2021)
    Bonjour, tant qu'on est dans les infinitésimaux et leur utilité, que pensez-vous de la sdg (synthetic differential geometry) ?
    A-t-elle des usages concrets ?
    Cordialement.
    Jean-Louis.
  • Jean--Louis
    Jean--Louis
    Bonjour à tous et toutes.
    J'ai l'impression que l'ANS sert en particulier dans l'analyse d'équations différentielles particulières. Cf le site d'Alain Benoît.
    C'est bizarre que vous ne trouviez pas que l'ANS amène une simplification dans les notions de limites, dérivées, intégrales... A tel point que j'ai parfois l'impression que c'est une fumisterie. Mis il y a les fondations de Robinson(ou Nelson).
    Bonne journée.
    Cordialement.
    Jean-Louis.
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