I0 (encore lui)

@Poirot : Merci pour ces références. J'ai bien entendu regardé le papier de Dimonte dont tu parles, et à vrai dire c'est même là-dessus que je travaille. En fait pour être tout à fait exact je bosse sur des notes de cours en 5 chapitres qu'il a rédigées en partant de son papier, et que Boban nous a partagées.
J'ai aussi le papier de Laver, mais il est beaucoup moins clair. En fait Dimonte a essayé de clarifier les choses pour que ce soit accessible au lecteur $\Lambda$.
Je vais chercher le papier de Kafkoulis.

Par contre "An AD-like axiom" semble introuvable.

@Poirot : j'ai trouvé le papier de Kafkoulis, je vais regarder.

@François : Non, ce papier n'a jamais été publié., mais il semble que les universitaires y aient accès, puisqu'ils le citent dans leurs références.
J'en profite pour te raconter la petite histoire de I0. Je crois que c'est en 1980 que Woodin écrit ce papier fantôme : il invente I0 pour justifier la détermination projective, et même la consistance de AD plein pot. Peu après, il s'aperçoit qu'en fait un supercompact suffit, puis un cardinal Shelah. (On descend de plus en plus en consistency strength). En 1985, gros scoop : Martin et Steel démontrent que l'existence d'une infinité de cardinaux Woodin (ce qui est encore plus faible que Shelah).entraîne la détermination projective. Peu après Woodin démontre que s'il existe une infinité de cardinaux Woodin avec un mesurable au-dessus, alors $\mathbb{L}(\mathbb{R}) \models AD$.
Enfin, en 1989 Woodin démontre une pseudo-réciproque : si DP est vrai, alors pour tout entier $n$ il existe un modèle intérieur avec $n$ cardinaux Woodin. On a donc trouvé le calibrage optimal.

Mais du coup les gens se disent : "ce petit lutin de I0 ne sert à rien", et pendant près de 25 ans personne ne s'intéresse à I0. Mais au début des années 2000, revirement de situation : Woodin démontre que si $I0(\lambda)$ est vrai, alors on peut équipper $\mathbb{L}(V_{\lambda +1})$ d'une "sorte" de théorie descriptive semblabla à celle de $\mathbb{L}(\mathbb{R})$ dans le cas où ce dernier satisfait AD. Du coup, regain d'intérêt, les travaux reprennent.

Depuis, Woodin (et aussi Dimonte et Laver) ont proposé des renforcements de I0... et là, forcément, ça devient un peu la jungle.

Salut Christophe,

"Par ailleurs, à ce niveau de GC, il n'y a pas de problème éthique à dire "il existe un inaccessible qui vérifie I0" quand tu veux un énoncé ensembliste."

Tu peux préciser un peu ?

Je suis d'accord avec toi que I0 flirte grave avec $0=1$, mais pourtant Woodin en a proposé plein de renforcements (imbitables, certes, mais pas prouvés inconsistants à ce jour).

Une question technique : dans les articles sur I0 on rencontre souvent un ordinal bizarre, noté $\Upsilon$ (Upsilon). J'ai beau chercher partout je n'arrive pas à trouver la définition de cette bestiole.

Si quelqu'un a une idée...