Négation d'une proposition

markovski · November 2021

Bonsoir à tous. Voici mon exercice : écrire avec les quantificateurs la proposition suivante et donner sa négation.

"Entre deux réels distincts, il existe un rationnel".

Ma réponse est :

$$\forall x,y\in\mathbb{R},\ \exists q\in\mathbb{Q},\ x<q<y.$$

Sa négation est :

$$\exists x,y\in\mathbb{R},\ \forall q\in\mathbb{Q},\ x\geq q \ \text{ou} \ q\geq y.$$

jippy13 · November 2021

C'est bon !

[Merci d'écrire les mots en entier. AD]

raoul.S · November 2021

C'est presque bon. Tu n'as pas tenu compte du fait que les réels doivent être distincts.

AD · November 2021

Tu supposes implicitement que $x<y$.

Alain

Dom · November 2021

Il y a une ambiguïté sur le mot « entre » de mon point de vue. Mais ce n’est pas quelque chose de profond mathématiquement. Ici, tu l’as interprété au sens strict. Je pense que c’est raisonnable.

Il faut préciser que $x\neq y$ avant le « il existe ».
D’ailleurs, en l’état, l’assertion est fausse en choisissant $x=100$ et $y=20$ (alors qu’on sait que c’est vrai…).

Ceci me dit qu’alors ta proposition n’est pas bonne.

markovski · November 2021

raoul.S a dit :

C'est presque bon. Tu n'as pas tenu compte du fait que les réels doivent être distincts.

Oui c'est vrai

Chaurien · November 2021

Moi j'écrirais :

$\forall x\in \mathbb{R},\ \forall y\in \mathbb{R},\ x<y\Rightarrow (\exists q\in \mathbb{Q},\ x<q<y)$

Je suis un peu rigoriste et je pense que « $\forall x,y\in \mathbb{R} $ » n'est pas correct.

De plus si l'on veut la conclusion $x<q<y$, il faut mettre dans l'hypothèse $x<y$.

Je pense que l'écriture des expressions quantifiées n'est pas une sorte de sténographie qu'on bricolerait à sa guise en se disant que le lecteur comprendra, mais ce n'est qu'un avis d'un non-spécialiste en logique.