Partie étoilée
Bonjour
Je souhaite montrer que $U=\{ z \in \C \ | \ |z|=1 \}$ est connexe par arcs mais non étoilée. Mon raisonnement est-il correct ? Avez-vous d'autres exemples simples de partie connexe par arcs mais non étoilée ?
Je sais que $U \subset \C^{*}$, donc $U$ est connexe par arcs.
Montrons que $U$ est non étoilé c'est-à-dire que $\forall z_1 \in U \exists z_2 \in U \ [z_1,z_2] \not\subset U$
Je prends $z_1=r e^{i \theta}$ avec $r >0$ et $\theta \in \R$. Soit $z_2=r e^{i \theta + \pi}$
Alors $\dfrac{z_1+z_2}{2}=0 \notin U$ ce qui conclut.
Soit $A$ une partie d'un espace vectoriel normé.
Étant donné $a \in A$, on dit que $A$ est étoilée par rapport à $a$ si $\forall x \in A, \ [a,x] \subset A$.
On dit que $A$ est étoilée s'il existe $a \in A$ tel que $A$ soit étoilé par rapport à $a$.
Je souhaite montrer que $U=\{ z \in \C \ | \ |z|=1 \}$ est connexe par arcs mais non étoilée. Mon raisonnement est-il correct ? Avez-vous d'autres exemples simples de partie connexe par arcs mais non étoilée ?
Je sais que $U \subset \C^{*}$, donc $U$ est connexe par arcs.
Montrons que $U$ est non étoilé c'est-à-dire que $\forall z_1 \in U \exists z_2 \in U \ [z_1,z_2] \not\subset U$
Je prends $z_1=r e^{i \theta}$ avec $r >0$ et $\theta \in \R$. Soit $z_2=r e^{i \theta + \pi}$
Alors $\dfrac{z_1+z_2}{2}=0 \notin U$ ce qui conclut.
Soit $A$ une partie d'un espace vectoriel normé.
Étant donné $a \in A$, on dit que $A$ est étoilée par rapport à $a$ si $\forall x \in A, \ [a,x] \subset A$.
On dit que $A$ est étoilée s'il existe $a \in A$ tel que $A$ soit étoilé par rapport à $a$.
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Réponses
Dès la première ligne c'est complètement faux, comme dab.
Et ça montre surtout que tu ne visualises absolument pas ce qu'est une partie connexe par arcs pour oser écrire une énormité pareille.
Il paraîtrait même qu'il sait faire certaines questions de concours de spé.
Try again (eh oui, c'est dur les maths qu'on en est encore à faire des erreurs de logique élémentaires).
J'attends toujours que tu démontres que tout sous-ensemble de $\C^*$ est connexe par arcs.
C'est génial comme théorème, tu aurais dû commencer par là, l'argument est plus direct.
Donc, d'après OShine, Z* est une partie de C* donc est connexe par arcs.
Cordialement,
Rescassol
Tu annonces un fait (tout sous-ensemble d'un connexe par arcs est connexe par arcs), je te demande de le démontrer, et au lieu de cela tu dis "je ne vois pas d'erreur". Avec ce genre d'arguments j'espère au moins que tes classes ont 20/20 de moyenne en maths.
Je ne suis même pas sûr qu'il sache pourquoi Z* n'est pas connexe par arcs du coup (sinon il n'aurait pas fait cette erreur de penser que tout sous-ensemble d'un connexe par arcs est connexe par arcs en disant qu'on peut toujours relier deux points).
Bon, plus simple, OShine:
$\{1; 2\}$ est il connexe par arcs ? Si oui, démontre le. Si non, démontre le.
Cordialement,
Rescassol
Soient $z_1,z_2 \in U$ distincts. Ainsi, $z_1= e^{i \theta_1}$ et $z_2= e^{i \theta_2}$ Supposons $\theta_1 < \theta_2$ modulo $2 \pi$
L'application $\begin{array}[t]{cccl} \gamma :& [\theta_1,\theta_2] & \longrightarrow &U \\& \theta& \longmapsto &e^{i \theta }\end{array}$
Le chemin continue $\gamma$ a pour image l'arc de cercle reliant $z_1$ à $z_2$.
On a $\gamma(\theta_1)=z_1$ et $\gamma(\theta_2)=z_2$, ce chemin relie bien $z_1$ à $z_2$.
Dans le cours, ils ne donnent pas $[0,1]$ mais un segment $[a,b]$ quelconque mais on peut se ramener à $[0,1]$ quand ça nous arrange.
Je suis le seul à ne pas comprendre cette notion ?
Posons $A=\{i,3i+1 \}$
On sait que $\arg(i)= \pi /2 [2 \pi]$ et $\arg(3i+1)= \pi /2 [2 \pi]$.
Si $A$ était connexe par arcs, il existerait un chemin $p : [0,1] \rightarrow A$ continu tel que $p(0)=i$ et $p(1)=3i+1$
Comme $i \ne 3i+1$, $p$ n'est pas une application constante.
Après je ne vois pas, mais sur un dessin, c'est évident, les 2 points sont distincts, donc aucun chemin continu ne peut les relier.
On a $3i+1= r e^{i \theta}$ Et $r=\sqrt{10}$
$\cos(\theta)=\dfrac{1}{\sqrt{10}}$ et $\sin(\theta)=\dfrac{3}{ \sqrt{10}}$ donc $\tan(\theta)=3$
Un argument de $3i+1$ est $\arctan(3)$.
Donc je te retourne la question, pourquoi as-tu calculé des arguments ? En quoi cela t'était utile pour répondre à la question ?
Zgrb c'était une idée de calculer des arguments au départ pour trouver un chemin, mais en fait je ne crois pas que ce soit utile.
Je ne vois pas comment démontrer rigoureusement que l'ensemble n'est pas connexe par arcs.
Tu voulais vraiment qu'il explicite un fermé-ouvert non trivial de $\{i,3i+1\}$ ?
Ici le chemin $p : [0,1] \longrightarrow \{ i,3i+1 \}$ tel que $p(0)=i$ et $p(1)=3i+1$ est une application continue d'une partie de $\R$ à valeurs dans $\C$.
Elle est continue si et seulement si $Im(p)$ et $Re(p)$ sont continues.
Mais $Re(p)(0)=0$ et $Re(p)(1)=1$
Mais $Re(p)$ est une fonction continue à valeurs réelles, d'après le théorème des valeurs intermédiaires, $Re(p)$ prend toutes les valeurs entre $0$ et $1$.
Ainsi $Re(p)$ prend la valeur $1/2$ ce qui est contradictoire car aucun élément de $\{i,3i+1 \}$ a une partie réelle égale à $1/2$.
en fait, au départ, tu veux montrer que le cercle unité n'est pas étoilé??? J'ai un exemple simple d'ensemble connexe non étoilé l'ensemble de Mandelbrot
Mais j'ai mis plus d'une journée avant d'avoir une idée.
Il faut que tu t'inspires de cette situation et que tu apprennes la patience en mathématiques.
Mieux vaut résoudre un problème seul en 7 jours, que de demander la réponse au bout d'une heure. Ce sera bien plus bénéfique pour toi !
Mais ici la question était faisable.