Non Lebesgue-mesurabilité de l'ensemble de Vitali

daniel.fr
daniel.fr
Modifié (November 2021) dans Analyse
Bonjour,
j'aimerais savoir si on peut démontrer la non mesurabilité de l'ensemble de Vitali directement en utilisant la définition de la tribu de Lebesgue (c'est-à-dire trouver une partie B de R telle que : m*(V∩B)+m*(V/B)/= m*(B) (V désigne l'ensemble de Vitali).
Je vous remercie

Réponses

  • daniel.fr
    daniel.fr
    De l'aide s'il vous plaît !
  • Kolakoski
    Kolakoski
    Bonjour,
    Si vous parlez de la caractérisation des parties Lebesgue-mesurables, il ne suffit pas d'exhiber une partie $B$ de $\mathbb{R}$ satisfaisant cette formule, il faut le vérifier pour toute partie $B$ !
    Pour la non-mesurabilité de l'ensemble de Vitali, je ne connais que la preuve consistant à décrire un ensemble de mesure nulle, réunion dénombrable de copies de $V$, et d'utiliser l'invariance par translation...
    Bonne continuation.
  • Poirot
    Poirot
    Modifié (November 2021)
    daniel.fr avait marqué "/=" pour signifier une non égalité.

    Je ne pense pas que l'on puisse procéder comme ça pour montrer la non mesurabilité de l'ensemble sans mimer la démonstration usuelle dont Kolakoski parle, parce qu'il faudrait savoir dire des choses sur $m^*(V \cap B )$ et $m^*(V \setminus B )$.
  • Kolakoski
    Kolakoski
    Effectivement, merci pour la correction Poirot !
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