Rayon de convergence

L2M · November 2021

Est-ce qu'on peut dire que ces deux propositions sont toujours vraies ?

$-$ Si $\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} a_n t^n$ et $\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} b_n t^n$ sont deux séries entières de rayons de convergence respectifs $R_1$ et $R_2$, alors le rayon de convergence de la série $\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} a_n b_n t^n$ est $ R_1 R_2$.

$-$ Si $\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} a_n t^n$ est une série entière de rayon de convergence $R_1>0$ alors le rayon de convergence de la série $\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{a_n }{n!} t^n$ est $ +\infty$.

bd2017 · November 2021

Bonjour

Le premier non. Il suffit de prendre $a_nb_n=0,\forall n$

JLapin · November 2021

Pour démontrer la deuxième propriété, tu peux par exemple commencer par choisir $\rho\in ]0,R_1[$.

marsup · November 2021

Bonsoir,

Si le rayon de convergence est $R$, alors pour $0<r<R$, la suite $(a_n \cdot r^n)$ est bornée.

Mais $(a_n \cdot R^n)$ peut très bien ne pas être bornée, comme dans la série géométrique dérivée : $\frac{d}{dx} \frac{1}{1-x} = \frac{1}{(1-x)^2} = \sum (n+1) \cdot x^n$.