Constante ou pas constante ?

bisam · November 2021

Bonjour
Abordant pour la $n$-ème fois mon cours sur la dérivabilité des fonctions à valeurs vectorielles, je me suis posé une question entre le train et le lycée.

Si $f$ est une fonction dérivable sur un intervalle $I$ non trivial de $\R$ à valeurs dans un espace vectoriel normé $E$ de dimension infinie dont la dérivée est nulle sur cet intervalle, la fonction $f$ est-elle constante sur $I$ ?

En effet, je sais le démontrer sans difficulté lorsque $E$ est de dimension finie, puisqu'il suffit de montrer que les fonctions coordonnées dans une base quelconque sont constantes.

Je sais également faire lorsque la norme dérive d'un produit scalaire sur $E$ puisque dans ce cas, on fixe un $a\in I$ et il suffit de vérifier que la fonction de $\R$ dans lui-même qui $x\in I$ associe $\|f(x)-f(a)\|^2$ est dérivable et de dérivée nulle.

J'imagine que c'est encore vrai sur un espace de Banach bien que je n'ai pas encore pris le temps de l'écrire.

Est-ce que ça peut être faux ?
Ou bien les espaces que l'on considère en analyse sont-ils tous faits de telle sorte que justement ce soit vrai ?

JLT · November 2021

Pour toute forme linéaire continue $h$, la fonction $h\circ f$ a une dérivée nulle, donc est constante. On conclut grâce au théorème de Hahn-Banach.

Foys · November 2021

On peut également appliquer , pour tout $a\in I$, l'inégalité des accroissements finis à la fonction $x\mapsto f(x)-f(a)$.

Guego · November 2021

https://fr.wikiversity.org/wiki/Calcul_différentiel/Différentiabilité#Théorèmes_d'égalité_et_d'inégalité_des_accroissements_finis

Chalk · November 2021

Sauf erreur de ma part, c'est toujours vrai car l'inégalité des accroissements finis reste vraie dans un cadre très général : https://les-mathematiques.net/vanilla/index.php?p=/discussion/1455162/inegalite-des-accroissements-finis

Edit : désolé, je n'avais pas vu que tout le monde avait déjà répondu ...
Edit 2 : mon icône de profil a changé toute seule et on dirait que je fais la gueule dessus ...