Bonsoir,
On se donne une corde $[AB]$ d'un cercle centré sur l'origine $O$. Construire à la règle et au compas une corde $[CD]$ de même longueur et telle qu'un de ses tiers $T$ soit sur l'axe des abscisses. Calculer l'angle $\widehat{TOD}$ en fonction de $\widehat{AOB}$.
Réponses
On pose $|A_0B_0|=2\sin t$ on fait deux trois calculs, donnant $ztanA$ et $ztanB$. Et les résultats sont rationnels en $\sin t$, $\cos t$.
Cordialement, Pierre.
Merci Pierre. Pour la construction à la règle et au compas on peut d'abord construire le point à un tiers de la première corde puis le cercle centre sur l'origine et passant par ce point. L'intersection de ce cercle avec $[0,1]$ nous donne un point $T$ au tiers de la corde recherchée. Une extrémité de cette corde est à l'intersection du cercle unité avec l'image de celui-ci par l'homothétie de centre $T$ et de rapport $-2$.
Notons $a=\widehat{AOB}$ et $b=\widehat{TOD}$. Alors on a $tan(b)= 2sin(a)/(1 + 2cos(a))$.
Bon je n'arrive pas à mettre un message d'un autre fil en lien mais cette configuration est un cas limite du dernier problème que j'ai posté dans le fil sur le cercle inscrit et la droite d'Euler.
Quel est le lieu du deuxième tiers sur cette corde lorsque l'angle $a$ varie ? Un joli ovale.
Le lieu du deuxième tiers de corde est $ \def\vz{\mathrm{\mathbf{Z}}} \def\vzz{\overline{\mathcal{Z}}} \def\vt{\mathrm{\mathbf{T}}}$
On en déduit les points doubles, et aussi le fait que les quatre asymptotes passent par l'origine, qui est leur seul point visible !