Infinité de nombres premiers divisant $2^{n}+1$
Bonjour.
J'aimerais montrer que il existe une infinité de nombres premiers $p$ tel que il existe $n \in \mathbb{N}$ tel que $p$ divise $2^{n}+1$
Merci de vos éventuelles réactions.
J'aimerais montrer que il existe une infinité de nombres premiers $p$ tel que il existe $n \in \mathbb{N}$ tel que $p$ divise $2^{n}+1$
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Réponses
Cette question m'avait tracassé en préparant la leçon sur les nombres premiers pour l'agreg interne, en pj une preuve.
1. La condition $p \mid 2^n + 1$ s'écrit $2^n \equiv - 1 \pmod p$, et cette équation est résoluble ssi l'ordre de $2$ modulo $p$ est pair, la plus petite solution étant alors la moitié de cet ordre. La principe de la démonstration de Hasse est alors le suivant. Supposons que $2^j$ divise exactement $p-1$. Alors
$$2^j \parallel p-1 \ \textrm{et} \ \textrm{ord}_p(2) \ \textrm{est impair} \iff 2^{(p-1)/2^j} \equiv 1 \pmod p$$ et Hasse a remarqué que la condition à droite est une condition de décomposition de nombres premiers dans certains corps de nombres, et on sait que ces premiers décomposés ont une densité.
2. En analysant finement les termes d'erreur dans le travail de Hasse, Odoni (1981) a obtenu un résultat plus fort.
$$\sum_{\substack{p \leqslant x \\ p \in S_V}} 1 = \frac{17}{24} \textrm{Li}(x) + O \left( \textrm{Li}(x) \, e^{-c \log_2 x/\log_3 x} \right),$$ où $c > 0$ est une constante absolue et $\log_k$ désigne la $k$ème itérée du logarithme naturel.
3. Il y a d'autres résultats de ce type : par exemple, Lagarias (1985) montre que la densité des nombres premiers divisant les nombres de Lucas est $\frac{2}{3}$. En 2001, Moree et Stevenhagen montrent, sous GRH, que la densité des nombres premiers divisant un terme de la suite (type Fibonacci) $u_{n+1} = u_n + u_{n-1}$ avec $u_0 = 3$ et $u_1 = 1$ est
$$\frac{1573727}{1569610} \times \prod_p \left( 1 - \frac{p}{p^3-1} \right).$$ etc.