Somme d'entiers
Bonsoir,
On a écrit 2 021 comme somme de 5 entiers positifs dont chaque chiffre ne peut être que 3 ou 5. Combien y a-t-il de chiffres 5 au total dans les cinq entiers ?
Je me demande quelle méthode adopter ici, tester au hasard jusqu'à tomber sur la réponse ou bien il y a une méthode astucieuse de combinatoire ?
Cordialement.
On a écrit 2 021 comme somme de 5 entiers positifs dont chaque chiffre ne peut être que 3 ou 5. Combien y a-t-il de chiffres 5 au total dans les cinq entiers ?
Je me demande quelle méthode adopter ici, tester au hasard jusqu'à tomber sur la réponse ou bien il y a une méthode astucieuse de combinatoire ?
Cordialement.
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Réponses
Y a-t-il d'autres solutions ? Avec plus de $5$ ? Ou moins ?
Cordialement,
Rescassol
Mais est-ce une démonstration ? Comme le dit Rescassol il pourrait y avoir d'autres solutions.
Bizarre ils ont mis cet exercice en avant dernier (les deux derniers sont réputés difficiles) au concours kangourou pour départager les candidats.
C'est effectivement une piste insuffisante.
Cherchons ce qu'on peut avoir pour le chiffre des unités : forcément 5+5+5+3+3 , ce qui donne 21, soit 1 pour les unités, et 2 pour la retenue.
Pour le chiffre des dizaines, avec la retenue, on a déjà 2. On veut donc 5 chiffres tous parmi 3 et 5 dont la somme va donner un multiple de 10 ... Galère. Pas de solution.
Sauf que rien ne nous oblige à avoir 5 chiffres, on peut n'en avoir que 4 ou moins.
Donc, etc etc
Tu es bien d'accord que pour les chiffres des unités, on ne peut pas avoir autre chose que 5+5+5+3+3 (sachant que l'ordre n'a aucune importance).
Ok ?
Une fois qu'on a placé 5+5+5+3+3 dans les chiffres des unités, on va chercher les chiffres des dizaines.
Quelle est l'équation qu'on obtient ?
Pour les dizaines, la somme doit avoir un chiffre des unités qui vaut $0$ car la retenue est de $2$.
On a donc forcément 5+5+5+5 =20. Si on prenait que 5+5 les nombres je ne vois pas pourquoi ça ne marcherait pas ??
Ensuite, 55 + 55 + 55 +53 +3
La retenue est de 2 encore et on veut obtenir 0 donc il faut un nombre qui se termine par 8. On veut aussi 2 de retenue donc la seule possibilité est :
5+5+5+3
-- Schnoebelen, Philippe
Nicolas Patrois merci ! J'essaie de démontrer qu'on arrive à 4 cas.
Du coup, dans les centaines, il y a quatre 5 (5+5+5+5=20).
1er cas on dispose trois 5 après les 5 et un après le trois.
2ème cas on dispose deux 5 après le 3 et un cinq après le 5.
Ensuite il faut obtenir le 20 donc on prend cinq 5.
Ce qui fait 4 cas possibles.
On s'en moque. Ce n'est pas demandé du tout dans l'exercice.
Une copie qui aborderait cet aspect serait notée fausse, car hors-sujet.
-- Schnoebelen, Philippe
Tant qu'on ne confond pas l'objectif, et les moyens mis en oeuvre pour atteindre cet objectif, tout est correct.
On a 10 fois le nombre 5. Ceci est valable dans chaque cas.
Pas si facile cet exercice.
1) En réduisant modulo 5 on en déduit qu'il n'y a que 2 chiffres des unités valant 3 et 3 valant 5
2) En réduisant modulo 3 on en déduit que le nombre de chiffres 5 est dans l'ensemble $\{4,7,10,13\}$
3) En réduisant modulo 25 on en déduit que le nombre de chiffres des dizaines valant 5 est $0$ ou $5$ et en testant le cas $0$ on voit que c'est impossible et qu'il y a 5 dizaines valant 5.
4) À partir de 1,2,3 on en déduit que le nombre de chiffres 5 est dans l'ensemble $\{10,13\}$
5) On teste le cas où il y a 13 chiffres 5 et on voit que ça ne marche pas, donc il y en a 10.
Peut-être qu'il y a plus "propre".
Ça veut dire quoi réduire modulo 5 ? Déjà le 1) je ne comprends pas comment tu fais.
2021 vaut 1 modulo 5 et si tu as un nombre à trois chiffres écrit en base 10 disons $x= a_0+10a_1+100a_2$ avec $a_0,a_1,a_2\in \{3,5\}$, alors tu peux montrer facilement que $x\equiv a_0 \mod 5$ avec ça tu en déduit (cf. point 1) qu'il n'y a que 2 chiffres des unités valant 3 et 3 valant 5.
C'est un exercice du concours kangourou et c'est l'avant dernier donc il est censé être très difficile pour les collégiens.
Le raisonnement avec les retenues d'addition fonctionne mais est long et laborieux.
Effectivement, je crois me souvenir que le rythme attendu dans Kangourou, c'est environ 2 ou 3 minutes par exercice.
Ici, 3 minutes, c'est peut-être un peu court pour cet exercice.
Mais 5 minutes, ça me paraît suffisant si on est méthodique.