Dénombrer des équipes
Bonsoir
Un tournoi d'échec réunit des équipes de 3 joueurs. Chaque participant joue une seule fois contre chaque membre des autres équipes. Pour des raisons d'organisation, il ne peut y avoir plus de 250 parties dans le tournoi. Combien d'équipes au maximum peuvent participer au tournoi ?
J'ai trouvé cet exercice dans le concours kangourou à la fin, il n'est pas corrigé. Mon raisonnement est-il juste ?
Mon raisonnement. Soit $n$ le nombre d'équipes. Chaque joueur de la première équipe joue à $3n$ parties, donc tous les joueurs de la première équipes jouent à $9n$ parties.
Je trouve l'équation $9n^2+ 9 (n-1)^2 + 9(n-2)^2 + \cdots + 9 +0 \leq 250$
Soit $9 \dfrac{n(n+1)}{2} \leq 250$ donc $n(n+1) \leq \dfrac{500}{9} \approx 55,5$ donc $n=6$
Je trouve 6 équipes maximum.
Un tournoi d'échec réunit des équipes de 3 joueurs. Chaque participant joue une seule fois contre chaque membre des autres équipes. Pour des raisons d'organisation, il ne peut y avoir plus de 250 parties dans le tournoi. Combien d'équipes au maximum peuvent participer au tournoi ?
J'ai trouvé cet exercice dans le concours kangourou à la fin, il n'est pas corrigé. Mon raisonnement est-il juste ?
Mon raisonnement. Soit $n$ le nombre d'équipes. Chaque joueur de la première équipe joue à $3n$ parties, donc tous les joueurs de la première équipes jouent à $9n$ parties.
Je trouve l'équation $9n^2+ 9 (n-1)^2 + 9(n-2)^2 + \cdots + 9 +0 \leq 250$
Soit $9 \dfrac{n(n+1)}{2} \leq 250$ donc $n(n+1) \leq \dfrac{500}{9} \approx 55,5$ donc $n=6$
Je trouve 6 équipes maximum.
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Réponses
Soit $n \geq 1$ le nombre d'équipes/
Le premier joueur de l'équipe 1 joue contre 3 joueurs dans l'équipe 2, 3 joueurs dans l'équipe 3 etc 3 joueurs dans l'équipe $n$ soit contre $\displaystyle\sum_{k=2}^n 3 = 3 (n-1)$ joueurs.
Les trois joueurs de l'équipe $1$ jouent contre $3 \times 3 (n-1)= 9(n-1)$ joueurs.
Le premier joueur de l'équipe 2 joue contre 3 joueurs dans l'équipe 3 (il a déjà joué avec ceux de l'équipe 1) etc 3 joueurs dans l'équipe $n$ soit $3(n-2)$
Les trois joueurs de l'équipe $2$ jouent contre $3 \times 3 (n-2)= 9(n-2)$ joueurs.
Donc l'équation est $9 \displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} 1 = 9 \times \dfrac{ n(n-1)}{2} \leq 250$
Soit $n(n-1) \leq \dfrac{50}{9} $ ainsi $\boxed{n=7}$
Bof
Le principe de base quand on enseigne les équations en collège, c'est de conseiller fortement aux élèves de vérifier que la solution trouvée en est bien une. Tu ne l'as clairement pas fait. Et c'est faisable de tête en plus. Ça reste truffé d'erreurs bêtes au bout du 3ème post pour un problème du kangourou destiné à des lycéens. Pareil, dans une copie de CAPES, alors que ça fait 150 ans que tu fais des maths ici, tu vas perdre des points. Et j'aurais même envie de t'en donner 0 quand je vois
Le but, c'est de te prouver que tu es meilleur qu'un collégien parce que tu connais le symbole $\sum$ ? Parce que sinon, il y a $n$ équipes de 3 joueurs ce qui fait $n-1$ autres équipes de 3 joueurs soit $3(n-1)$ joueurs.
Et c'est $500/9$ erreur de frappe, je trouve bien $n=7$ car $6 \times 7=42 \leq 500/9 $ alors que $7 \times 8=56 > 500/9$
Bon c'est pour frimer 🤓
Je l'ai trouvé dans concours kangourou 4ème-3ème, c'était le dernier exercice généralement les 2 derniers sont difficiles.
ce qui donne tout de suite que le produit de deux entiers consécutifs doit être inférieur ou égal à 55, et c'est alors immédiat.