Centre du cercle inscrit et droite d'Euler

Bonsoir,

Oui, $I$ tournant autour de $N$, voilà le paramètre qu'il me manquait pour nommer correctement le triangle solution (je parle de son image dans le cercle orthocentroïdal), c'est-à-dire sans que ses sommets permutent lors de son déplacement. Il fallait compter le nombre de tours $n$ que fait $I$ autour de $N$ quand on bouge ce point, et mesurer l'angle $\alpha=\widehat{HNI}$. Connaissant ces deux nombres on procède ainsi : on place le point $H_1$ image de $H$ par la rotation de centre $o$ et d'angle $\frac{\alpha}{3}+60°+ 120°\times n'$, où $n' \equiv n \mod 3$ (ce point $H_1$ définit l'orientation limite du triangle par rapport à la droite d'Euler lorsque $I$ tend vers $N$ en gardant un angle constant ($\alpha$) par rapport à cette droite). On construit ensuite $H_2$ image de $H_1$ par la rotation de centre $o$ et d'angle $120°$ puis $H_3$ image de $H_2$ par cette même rotation. On peut alors nommer le triangle ainsi : $A$ est le sommet du triangle le plus proche de $H_1$, $B$ le plus proche de $H_2$ et $C$ le plus proche de $H_3$ !
Un grand merci à geogebra-rafael du forum GGB pour son script permettant de compte le nombre de tours que fait $I$ autour de $N$.

Bonsoir,

Je propose un petit problème en lien avec celui de la construction d'un triangle à partir de ses centres $O$, $G$ et $I$ (notations habituelles). Est connu le cercle circonscrit d'un triangle : c'est le cercle de centre $O(0,0)$ et de rayon $1$. Sa droite d'Euler est également connue : mettons qu'il s'agit de l'axe des abscisses.
1°) Déterminer dans quel domaine peut varier le centre $I$ du cercle inscrit d'un tel triangle.
2°) On se donne un point $I$ de ce domaine. Construire le centre de gravité $G$ du triangle (deux possibilités en général).
Les positions des centres $O$, $G$ et $I$ seront alors connues, ce qui permettra de construire le triangle.

Ci-joints deux autres figures GeoGebra interactives. Pour chacune d'elles le cercle circonscrit est fixé.
Figure OGI : la droite d'Euler est également fixée et on peut bouger le centre $I$.
Figure tryG : on peut bouger le centre $I$ dans le cercle circonscrit et changer la position de la droite d'Euler par rapport ce point (en bougeant le point $M$).
Cordialement,
Ludwig

Bonjour,

Je n'ai pas encore regardé ta variante Swingmustard, peut-être qu'on peut utiliser la formule donnant le rayon $R$ du cercle circonscrit en fonction des distances $OI$, $OG$ et $IG$ ?
$$R = \sqrt{\frac{OI^{4}}{6 \; IG^{2} + 3 \; OG^{2} - 2 \; OI^{2}}}$$
Il y a un autre fil en rapport avec le sujet de celui-ci, proposé par Yannnguyên et datant de février 2017. Je l'ai trouvé il y a quelques jours grâce à Google mais impossible de mettre la main dessus aujourd'hui. Voir aussi le fil sur le mystère du point de Lemoine.

Grâce à une indication de YvesM je viens de terminer une autre figure interactive (fichier joint) : on peut bouger $G$ dans le cercle circonscrit (fixé), le lieu des centres des cercles inscrits est tracé et on peut déplacer un centre $I$ dessus, le triangle est aussi dessiné.

Pas sûr que restreindre le déplacement de $I$ au disque unité soit la meilleure chose à faire, vaudrait mieux qu'il poursuive sa route sur la courbe au dehors, car cela doit correspondre alors à un centre d'un cercle exinscrit. Et il ne doit pas falloir changer grand chose, une figure de Guinand plus globale est certainement possible, et souhaitable !, mais là j'ai plus le temps.

Amicalement,
Ludwig

Bonjour
J'ai aussi cherché le lieu des centres inscrits $I$ des triangles ayant un angle donné $\alpha$ et dont le centre de gravité $G$ est sur l'axe des abscisses, le cercle circonscrit de ces triangles étant le cercle trigonométrique. Pour cela je suis parti des coordonnées barycentriques du centre $I$ d'un triangle $ABC$ : $(BC,AC,AB)$. C'est-à-dire que l'on a $BC.\overrightarrow{IA}+AC.\overrightarrow{IB}+AB.\overrightarrow{IC}=\vec{0}$, relation que l'on peut aussi écrire $p.\overrightarrow{OI}= BC.\overrightarrow{OA}+AC.\overrightarrow{OB}+AB.\overrightarrow{OC}$, où $p=AB+BC+CA$ est le périmètre du triangle.

Et là on voit que c'est à la fois gagné mais aussi perdu. C'est gagné car il suffit de noter par exemple $A$ (cos(t),sin(t)) pour avoir $B$ (cos( t + $2\alpha$),sin( t + $2\alpha$)), et l'ordonnée de $C$ en écrivant que $G$ est sur $(Ox)$ : $y$ = -sin( t ) - sin( t + $2\alpha$), puis son abscisse (deux possibilités) en écrivant que $C$ est sur le cercle trigonométrique. Il ne reste plus qu'à utiliser la deuxième égalité vectorielle ci-dessus pour avoir des équations paramétriques du lieu de $I$. Mais c'est bien là le problème, car les calculs sont affreux : il faut calculer des sommes de racines carrés à n'en plus finir et les formules font trois kilomètres de long. Je les ai bien fait calculer à GGB mais je n'obtiens qu'une partie du lieu (une par abscisse du point $C$) et je n'arrive pas à unifier les formules. 

Peut-on simplifier ces équations paramétriques des coordonnées de $I$ (GGB n'y arrive pas) ?
Il faudrait s'y prendre autrement pour avoir des formules qui tiennent sur une page, mais comment ? J'ai aussi essayé en calculant les longueurs des côtés en fonction des angles avec la fonction arcsinus, mais du coup il y a un problème de domaine de définition et le lieu obtenu n'est pas le bon. Et comment obtenir l'équation du lieu sous forme implicite ?

Bonjour,

ABC       un triangle

Na, G, I, le point de Nagel, le point médian, le centre du cercle inscrit,

N, Fe le centre du cercle d’Euler, le point de Feuerbach

Tfe          la tangente au cercle inscrit en Fe.

Résultats connus :              (1)           Na, G, I sont aligné

                                           (2)           Fe, N, I sont alignés

                                           (3)           (INa) est la ménélienne isotomique de Tfe relativement à ABC 

Contrainte :           si, I est sur la droite d’Euler alors, Na et Fe le sont aussi.

Un schéma de preuve synthétique par en raisonnant par l’absurde et cas par  cas  A améliorer

                Premier cas :         Fe est ‘’proche de A’’

les points d’intersection de(BC) resp. avec Tfe et (FeI) ne sont pas deux points isotomiques de [BC] ce qui est contradictoire…

et ainsi de suite…

Qu'en pensez-vous ?

Sincèrement

Jean-Louis