Somme d'entiers

OShine
OShine
dans Combinatoire et Graphes
Bonsoir,

On a écrit 2 021 comme somme de 5 entiers positifs dont chaque chiffre ne peut être que 3 ou 5. Combien y a-t-il de chiffres 5 au total dans les cinq entiers ? 

Je me demande quelle méthode adopter ici, tester au hasard jusqu'à tomber sur la réponse ou bien il y a une méthode astucieuse de combinatoire ? 

Cordialement. 

Réponses

  • raoul.S
    raoul.S
    Presque au bol 555+555+555+353+3, je suis chanceux aujourd'hui... 
  • Rescassol
    Rescassol
    Bonsoir,
    Y a-t-il d'autres solutions ? Avec plus de $5$ ? Ou moins ?
    Cordialement,
    Rescassol

  • lourrran
    lourrran
    Quand j'étais gamin, en CE2 ou CM1 (on disait 9ème et 8ème) à l'époque,  on m'a appris la preuve par 3.

    Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
  • OShine
    OShine
    Je ne vois pas le rapport avec la règle de 3.


  • OShine
    OShine
    Raoul.S c'est ton jour de chance. J'ai fait 3 essais et je ne tombais pas sur la bonne réponse.

    Mais est-ce une démonstration ? Comme le dit Rescassol il pourrait y avoir d'autres solutions. 

    Bizarre ils ont mis cet exercice en avant dernier (les deux derniers sont réputés difficiles) au concours kangourou pour départager les candidats. 
  • lourrran
    lourrran
    J'ai voulu éditer , mais bug du site :

     
    C'est effectivement une piste insuffisante.

    Cherchons ce qu'on peut avoir pour le chiffre des unités :  forcément 5+5+5+3+3 , ce qui donne 21, soit 1 pour les unités, et 2 pour la retenue.
    Pour le chiffre des dizaines, avec la retenue, on a déjà 2. On veut donc 5 chiffres tous parmi 3 et 5 dont la somme va donner un multiple de 10 ... Galère. Pas de solution.
    Sauf que rien ne nous oblige à avoir 5 chiffres, on peut n'en avoir que 4 ou moins.

    Donc, etc etc
    Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
  • OShine
    OShine
    Lourrran je ne comprends pas ta méthode et ton raisonnement.


  • lourrran
    lourrran
    A quel moment tu ne comprends plus.
    Tu es bien d'accord que pour les chiffres des unités, on ne peut pas avoir autre chose que 5+5+5+3+3  (sachant que l'ordre n'a aucune importance).
    Ok ?
    Une fois qu'on a placé 5+5+5+3+3 dans les chiffres  des unités, on va chercher les chiffres des dizaines. 
    Quelle est l'équation qu'on obtient ?
    Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
  • OShine
    OShine
    Ah d'accord merci, oui pour les unités c'est bon. On obtient $21$ donc la retenue est de $2$. 

    Pour les dizaines, la somme doit avoir un chiffre des unités qui vaut $0$ car la retenue est de $2$.

    On a donc forcément 5+5+5+5 =20. Si on prenait que 5+5 les nombres je ne vois pas pourquoi ça ne marcherait pas ??

    Ensuite, 55 + 55 + 55 +53 +3

    La retenue est de 2 encore et on veut obtenir 0 donc il faut un nombre qui se termine par 8. On veut aussi 2 de retenue donc la seule possibilité est :

    5+5+5+3 


  • lourrran
    lourrran
    Si on ne prend que 5+5 pour les dizaines, ça veut dire qu'on a seulement 2 nombres plus grands que 10. Et donc 2 chiffres maxi pour les chiffres des centaines. Pourra-t-on arriver à 2021 ainsi ?
    Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
  • nicolas.patrois
    nicolas.patrois
    Modifié (November 2021)
    Pythonnons un peu :
    <div>#!/usr/bin/python3</div><br>from itertools import product<br><br>def xxx():<br>&nbsp; for x in product("035",repeat=3):<br>&nbsp;&nbsp;&nbsp; x=list(x)<br>&nbsp;&nbsp;&nbsp; while x and x[0]=="0":<br>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; del x[0]<br>&nbsp;&nbsp;&nbsp; if x and "0" not in x:<br>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; yield "".join(x)<br><br>l=set()<br>for x in product(xxx(),repeat=5):<br>&nbsp; if eval("+".join(x))==2021:<br>&nbsp;&nbsp;&nbsp; l.add("+".join((sorted(x,key=int))))<br><br>for s in l:<br>&nbsp; print(s+"=2021",s.count("5"))<br>
    Et la réponse est :
    <div>3+353+555+555+555=2021 10</div>5+353+553+555+555=2021 10<br>3+355+553+555+555=2021 10<br>5+355+553+553+555=2021 10
    Algebraic symbols are used when you do not know what you are talking about.
            -- Schnoebelen, Philippe
  • OShine
    OShine
    Modifié (November 2021)
    lourrran a dit :
    Si on ne prend que 5+5 pour les dizaines, ça veut dire qu'on a seulement 2 nombres plus grands que 10. Et donc 2 chiffres maxi pour les chiffres des centaines. Pourra-t-on arriver à 2021 ainsi ?
    Si on a que deux 5 (5+5) pour les dizaines on n'arrivera jamais à faire 20 pour obtenir de 20 de 2021.
    Nicolas Patrois merci ! J'essaie de démontrer qu'on arrive à 4 cas. 
    Du coup, dans les centaines, il y a quatre 5 (5+5+5+5=20). 
    1er cas on dispose trois 5 après les 5 et un après le trois.
    2ème cas on dispose deux 5 après le 3 et un cinq après le 5.
    Ensuite il faut obtenir le 20 donc on prend cinq 5.
    Ce qui fait 4 cas possibles.
  • lourrran
    lourrran
    Là, tu te mets à dire : on peut avoir 555+555+555+353+3 , ou bien 555+555+553+353+5 , ou bien ... ... 
    On s'en moque. Ce n'est pas demandé du tout dans l'exercice.

    Une copie qui aborderait cet aspect serait notée fausse, car hors-sujet.
    Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
  • nicolas.patrois
    nicolas.patrois
    lourrrran, si on arrive à trouver tous les cas, alors on peut aussi répondre à la question.
    Algebraic symbols are used when you do not know what you are talking about.
            -- Schnoebelen, Philippe
  • lourrran
    lourrran
    Oui.
    Tant qu'on ne confond pas l'objectif, et les moyens mis en oeuvre pour atteindre cet objectif, tout est correct.
    Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
  • OShine
    OShine
    Modifié (November 2021)
    Trouver les 4 cas permet de répondre a la question.
    On a 10 fois le nombre 5. Ceci est valable dans chaque cas. 
    Pas si facile cet exercice.
  • raoul.S
    raoul.S
    Modifié (November 2021)
    On peut montrer en réduisant modulo xxx qu'il ne peut y avoir que 10 chiffres 5.

    1) En réduisant modulo 5 on en déduit qu'il n'y a que 2 chiffres des unités valant 3 et 3 valant 5
    2) En réduisant modulo 3 on en déduit que le nombre de chiffres 5 est dans l'ensemble $\{4,7,10,13\}$
    3) En réduisant modulo 25 on en déduit que le nombre de chiffres des dizaines valant 5 est $0$ ou $5$ et en testant le cas $0$ on voit que c'est impossible et qu'il y a 5 dizaines valant 5.
    4) À partir de 1,2,3 on en déduit que le nombre de chiffres 5 est dans l'ensemble $\{10,13\}$
    5) On teste le cas où il y a 13 chiffres 5 et on voit que ça ne marche pas, donc il y en a 10.

    Peut-être qu'il y a plus "propre".
  • OShine
    OShine
    Modifié (November 2021)
    Raoul.S je n'ai pas compris ta seconde méthode, elle m'a l'air bien compliquée pour un exercice de niveau collège.

    Ça veut dire quoi réduire modulo 5 ? Déjà le 1) je ne comprends pas comment tu fais. 
  • raoul.S
    raoul.S
    Modifié (November 2021)
    Réduire modulo 5 ça veut dire que tu regardes ton égalité modulo 5 (reste de la division par 5 quoi).

    2021 vaut 1 modulo 5 et si tu as un nombre à trois chiffres écrit en base 10 disons $x= a_0+10a_1+100a_2$ avec $a_0,a_1,a_2\in \{3,5\}$, alors tu peux montrer facilement que $x\equiv a_0 \mod 5$ avec ça tu en déduit (cf. point 1) qu'il n'y a que 2 chiffres des unités valant 3 et 3 valant 5. 
  • raoul.S
    raoul.S
    Oshine, oui si c'est niveau collège ça m'étonne également.
  • OShine
    OShine
    D'accord merci. Oui c'est vrai que $2021 = 1 + 2 \times 10 + 2 \times 1000$  et $100$ vaut $0$ modulo $5$.
    C'est un exercice du concours kangourou et c'est l'avant dernier donc il est censé être très difficile pour les collégiens. 

    Le raisonnement avec les retenues d'addition fonctionne mais est long et laborieux.
  • lourrran
    lourrran
    Long et laborieux ???  
    Effectivement, je crois me souvenir que le rythme attendu dans Kangourou, c'est environ 2 ou 3 minutes par exercice. 

    Ici, 3 minutes, c'est peut-être un peu court pour cet exercice.  
    Mais 5 minutes, ça me paraît suffisant si on est méthodique. 
    Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
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