Nombre premier et Infini
dans Arithmétique
Bonjour !
On me donne un polynôme F à indéterminée X (non constant) et à coefficient dans l'ensemble des entiers relatifs.
J'aimerais démontrer que la famille A suivante est infinie.
A={ p premier tel que : il existe un entier n tel que p divise F(n)}.
Merci pour vos éventuelles réactions !
On me donne un polynôme F à indéterminée X (non constant) et à coefficient dans l'ensemble des entiers relatifs.
J'aimerais démontrer que la famille A suivante est infinie.
A={ p premier tel que : il existe un entier n tel que p divise F(n)}.
Merci pour vos éventuelles réactions !
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Réponses
On peut d'abord supposer que $F$ n'a aucune racine dans $\mathbb{Z}$, sinon il est clair qu'il a une racine dans chaque $\mathbb{F}_p$. On pose alors
$$P(x) := \frac{F \left( x F(0) \right)}{F(0)}$$
qui est bien un polynôme non constant à coefficients entiers et pour lequel $P(0)=1$.
Supposons que les seuls nombres premiers divisant $P(n)$ pour tout entier $n$ soient $p_1, \dotsc,p_r$ et soit $m:= p_1 \dotsb p_r$. Pour tout entier $\ell \neq 0$, $P(\ell m) \equiv P(0) \equiv 1 \pmod m$, donc aucun des nombres premiers $p_1, \dotsc,p_r$ ne divise $P(\ell m)$, ce qui implique que, pour tout $\ell \neq 0$, $P(\ell m) = \pm 1$, et donc $P$ est constant. D'où une contradiction avec l'hypothèse que $P$ est non constant.
Pouvez vous me donner une définition de l'ensemble $\mathbb{F}_{p}$?
Comme essai de preuve. Si je suppose que ce nombre est fini alors cela contredit le fait qu'il existe une infinité de nombres p divisant F(n) pour un certain n.
Est-elle suffisante comme preuve ?
si j'appelle P(m) le plus grand nombre premier qui divise m. Alors est-ce que je peux dire d'après ce qui précède que $\lim P(F(n))=\infty$ ?
En 1952, Erdös montre qu'il existe $c > 0$ telle que, pour tout polynôme irréductible $F$, il existe un réel $x_0(F)$ tel que, pour tout $x \geqslant x_0(F)$, on ait la minoration
$$P \left( \prod_{n \leqslant x} F(n) \right) > x (\log \log x)^{c \log \log x}.$$
Diverses amélioration ont eu lieu par la suite. Par exemple, en 1990, Tenenbaum montre que, pour tout polynôme $F$ irréductible sur $\mathbb{Z}$, on a
$$P \left( \prod_{n \leqslant x} F(n) \right) > x \exp \left\lbrace (\log x)^{\alpha} \right\rbrace$$
avec $0 < \alpha < 2 - \log 4 \approx 0,6137$.