Dénombrer des équipes

OShine · November 2021

Bonsoir
Un tournoi d'échec réunit des équipes de 3 joueurs. Chaque participant joue une seule fois contre chaque membre des autres équipes. Pour des raisons d'organisation, il ne peut y avoir plus de 250 parties dans le tournoi. Combien d'équipes au maximum peuvent participer au tournoi ?

J'ai trouvé cet exercice dans le concours kangourou à la fin, il n'est pas corrigé. Mon raisonnement est-il juste ?

Mon raisonnement. Soit $n$ le nombre d'équipes. Chaque joueur de la première équipe joue à $3n$ parties, donc tous les joueurs de la première équipes jouent à $9n$ parties.
Je trouve l'équation $9n^2+ 9 (n-1)^2 + 9(n-2)^2 + \cdots + 9 +0 \leq 250$
Soit $9 \dfrac{n(n+1)}{2} \leq 250$ donc $n(n+1) \leq \dfrac{500}{9} \approx 55,5$ donc $n=6$
Je trouve 6 équipes maximum.

Math Coss · November 2021

Ouille ouille ouille !

raoul.S · November 2021

Chaque participant joue une seule fois contre chaque membre des autres équipes.

gai requin · November 2021

Ils auraient pu faire l'effort d'assurer la tenue de 252 parties !

lourrran · November 2021

Ca a failli être bon, ce n'est pas si mal.

OShine · November 2021

Ok merci je recommence. Gai Requin avec mes nouveaux calculs je comprends le sens de ta remarque

Soit $n \geq 1$ le nombre d'équipes/

Le premier joueur de l'équipe 1 joue contre 3 joueurs dans l'équipe 2, 3 joueurs dans l'équipe 3 etc 3 joueurs dans l'équipe $n$ soit contre $\displaystyle\sum_{k=2}^n 3 = 3 (n-1)$ joueurs.

Les trois joueurs de l'équipe $1$ jouent contre $3 \times 3 (n-1)= 9(n-1)$ joueurs.

Le premier joueur de l'équipe 2 joue contre 3 joueurs dans l'équipe 3 (il a déjà joué avec ceux de l'équipe 1) etc 3 joueurs dans l'équipe $n$ soit $3(n-2)$

Les trois joueurs de l'équipe $2$ jouent contre $3 \times 3 (n-2)= 9(n-2)$ joueurs.

Donc l'équation est $9 \displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} 1 = 9 \times \dfrac{ n(n-1)}{2} \leq 250$

Soit $n(n-1) \leq \dfrac{50}{9} $ ainsi $\boxed{n=7}$

Alexique · November 2021

$\sum_{k=0}^{n-1} 1 = \frac{n(n-1)}{2}$

Bof

$n(n-1)\leq \frac{50}{9}$ ainsi $n=7$

Le principe de base quand on enseigne les équations en collège, c'est de conseiller fortement aux élèves de vérifier que la solution trouvée en est bien une. Tu ne l'as clairement pas fait. Et c'est faisable de tête en plus. Ça reste truffé d'erreurs bêtes au bout du 3ème post pour un problème du kangourou destiné à des lycéens. Pareil, dans une copie de CAPES, alors que ça fait 150 ans que tu fais des maths ici, tu vas perdre des points. Et j'aurais même envie de t'en donner 0 quand je vois

$\sum_{k=2}^n 3 =3(n-1)$

Le but, c'est de te prouver que tu es meilleur qu'un collégien parce que tu connais le symbole $\sum$ ? Parce que sinon, il y a $n$ équipes de 3 joueurs ce qui fait $n-1$ autres équipes de 3 joueurs soit $3(n-1)$ joueurs.

OShine · November 2021

C'est $\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} k = n(n-1) /2$

Et c'est $500/9$ erreur de frappe, je trouve bien $n=7$ car $6 \times 7=42 \leq 500/9 $ alors que $7 \times 8=56 > 500/9$

OShine · November 2021

Je suis très faible en dénombrement combinatoire donc si je trouve la réponse ça serait déjà une victoire pour moi.

gai requin · November 2021

Avec $n$ équipes, il y a $9\dbinom n 2$ parties.

OShine · November 2021

Parties ? Je ne comprends pas de quoi tu parles.

raoul.S · November 2021

Question de s'amuser encore avec cette question, on peut également modéliser la situation par un graphe à $3n$ sommets (les joueurs), une arrête étant une partie entre deux joueurs. On obtient un graphe $(V,A)$ régulier, chaque sommet ayant $3(n-1)$ voisins. Puis on applique la formule bien connue $\sum_{v\in V} \deg(v)=2|A|$ qui devient ici $3n3(n-1)=2|A|$ d'où le nombre de parties $|A|=9n(n-1)/2$...

Bon c'est pour frimer 🤓

OShine · November 2021

Gai Requin peux-tu expliquer ton raisonnement combinatoire ? Je n'ai pas compris comment obtenir ta formule.

raoul.S · November 2021

OShine une partie consiste en un choix de deux équipes parmi $n$ ($\dbinom n 2$ choix possibles) suivi d'un choix d'un joueur dans chacune des deux équipes ($9$ choix possibles).

OShine · November 2021

Ah d'accord merci, l'exercice est difficile pour des collégiens car ils ne connaissent pas le coefficient binomial.

Je l'ai trouvé dans concours kangourou 4ème-3ème, c'était le dernier exercice généralement les 2 derniers sont difficiles.

verdurin · November 2021

Une solution niveau collège :

Chaque joueur rencontre $3(n-1)$ adversaires ce qui fait $3n\times3(n-1)$ en comptant chaque partie deux fois. Il y a donc $\frac{9n(n-1)}2$ parties pour $n$ équipes.

Par contre je ne sais plus comment résoudre $\frac{9n(n-1)}2\leqslant250$ à ce niveau, mais c'est au moins accessible par tâtonnement.