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Condition pour que deux racines d'un polynôme soient inverses

Piteux_gorePiteux_gore
dans Algèbre
Bonjour,
Résoudre l'exercice suivant par (au moins) trois méthodes différentes :
condition à établir entre $a$ et $b$ pour que deux racines de l'équation $x^4 - 2x^3 + ax^2 + bx - 1 = 0$ soient réciproques
A+
Qu'il est joli garçon, l'assassin de Papa ! (Corbeille, Alcide)

Réponses

  • RescassolRescassol
    Modifié (November 2021)
    Bonjour,
    syms a b real
P=[1 -2 a b -1];
Q=[-1 b a -2 1];
R=Factor(Resultant(P,Q))
    Réponse:
    R=(a + b - 2)*(a - b + 2)*(b^2 + 4*a - 4)^2
    La condition est donc que l'un au moins de ces trois facteurs soit nul.

    Cordialement,
    Rescassol

    Edit: J'ai fini par parvenir à mettre le code avec la balise code sans comprendre comment j'ai fait.

  • bd2017bd2017
    Modifié (November 2021)
    Bonjour
    Attention tout de même car si on prend  le cas  a+b-2=0  avec par exemple  a=2 et b=0.  On n'a pas deux racines inverses. 
    1 est solution simple.  La réponse dépend un peu de l'interprétation de l'énoncé.
    P.S.  D'autre part,  j'ai un doute sur l'emploi du mot "racines réciproques"  dans l'énoncé. 
     
  • Piteux_gorePiteux_gore
    Modifié (November 2021)
    RE

    Personnellement, je trouve que la condition est $b^2 + 4a - 4 = 0$, et ce par deux méthodes.

    A+
    Qu'il est joli garçon, l'assassin de Papa ! (Corbeille, Alcide)
  • jandrijandri
    Je suis d'accord avec Piteux_gore, la condition pour que deux racines soient inverses l'une de l'autre est bien $b^2 + 4a - 4 = 0$.

    La condition $a+b-2=0$ traduit que $1$ est racine, la condition $a-b+2=0$ traduit que $-1$ est racine.
  • gai requingai requin
    Modifié (November 2021)
    Dans le cas où $b^2+4a-4=0$, on a même facilement toutes les racines puisqu'alors :$$x^4-2x^3+ax^2+bx-1=\frac 1 4(2x^2-(b+2)x+2)(2x^2+(b-2)x-2).$$
  • RescassolRescassol
    Bonsoir,

    Oui, $1$ et $-1$ sont leurs propres inverses.
    Avec un peu de mauvaise foi, je dirai que l'énoncé original ne précise pas que les deux racines doivent être distinctes.

    Cordialement,
    Rescassol

  • Piteux_gorePiteux_gore
    RE

    J'avais demandé trois méthodes au moins, hors logiciels de calcul.

    A+
    Qu'il est joli garçon, l'assassin de Papa ! (Corbeille, Alcide)
  • RescassolRescassol
    Bonsoir,

    D'une part, tu n'avais pas dit "hors logiciels de calcul", d'autre part, un résultant se calcule aussi à la main, donc c'est une méthode.

    Cordialement,
    Rescassol

  • gai requingai requin
    $$\begin{align*}x^4-2x^3+ax^2+bx-1\text{ admet deux racines inverses }&\Leftrightarrow\exists c\quad x^2-cx+1\mid x^4-2x^3+ax^2+bx-1\\&\Leftrightarrow\exists c\quad a=-c^2+2c\text{ et }b=2c-2\text{ (après calculs)}\\&\Leftrightarrow b^2+4a-4=0.\end{align*}$$
  • Piteux_gorePiteux_gore
    Modifié (November 2021)
    RE
    Les trois méthodes auxquelles j'ai pensé sont :smile:
    1. écrire que $P(x) = (x^2 - sx + 1)(x^2 - s'x - 1)$, puis procéder par identification (deux des relations donnent $s, s'$ et la troisième fournit la relation de compatibilité) ;
    2. employer les relations de Viète ;
    3. calculer à la main le résultant.
    La première méthode me semble la plus simple.
    Notons que, si $b = 2$, on a $P(x) = (x+1)(x - 1)^3$.
    Réflexion faite, il existe une autre méthode :
    1. déterminer l'équation aux produits des racines prises deux à deux ;
    2. écrire que l'équation aux produits admet $1$ pour racine.
    A+
    Qu'il est joli garçon, l'assassin de Papa ! (Corbeille, Alcide)
  • gai requingai requin
    Et si $b=-6$, alors $a=-8$ et $P(x)=(x+1)^2(x^2-4x-1)$.
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