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Argument diagonal de Cantor

Bonsoir,
classiquement, on présente l'argument de Cantor en numérotant les réels entre 0 et 1 et en numérotant leurs décimales. (On sait qu'historiquement, ce n'était pas tout à fait ça mais ce n'est pas mon propos.)
Un collègue a émis l'objection suivante: ok le réel "diagonal" n'était pas numéroté mais qu'est-ce qui me dit que l'ensemble des réels non-numérotés n'est pas dénombrable? qu'est-ce qui permet par le seul argument diagonal de montrer que [0;1[ n'est pas dénombrable?

Merci de m'avoir lu, je me plonge dans l'immense livre de Mrs Cori et Lascar pour essayer d'attrapper l'argument que je cherche,
F.D.
PS: que je ne m'habitue pas au nouveau forum et combien mon ancien avatar me manque :-(

Réponses

  • Il n'y a pas besoin de montrer que l'ensemble des réels non numérotés est indénombrable pour faire marcher l'argument diagonal de Cantor.
    Il suffit de montrer que cet ensemble est non vide.
  • Modifié (November 2021)
    François14 a dit :
    qu'est-ce qui permet par le seul argument diagonal de montrer que [0;1[ n'est pas dénombrable?
    Car dans l'argument diagonal on suppose que $[0,1[$ est dénombrable et on aboutit à une contradiction en exhibant un réel qui n'est pas dans la liste.

    C'est tout, nul besoin de se demander s'il y a une infinité non dénombrable de réels qui ne sont pas dans la liste car on a déjà obtenu une contradiction.
  • Modifié (November 2021)
    L'argument diagonal fonctionne de par sa généralité. Quelle que soit l'énumération (dénombrable) de $[0, 1]$, celle-ci est incomplète. Ainsi il n'existe aucune surjection de $\mathbb N \to [0, 1]$. A fortiori l'ensemble des réels qui manquent dans une telle énumération est non dénombrable (sinon $[0, 1]$ serait dénombrable), mais on ne le prouve pas au cas par cas, c'est une conséquence de l'argument général.
  • Merci de vos éclaircissements,
    amicalement,
    F.D.
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