Deux angles égaux

% Jean-Louis Ayme - 18 Novembre 2021 - Deux angles égaux

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% On part du triangle de contact UVW

syms u v w
syms uB vB wB % Conjugués

uB=1/u; % Morley's trick avec le cercle inscrit
vB=1/v;
wB=1/w;

syms s1 s2 s3;
syms s1B s2B s3B; % Conjugués

s1=u+v+w;         % Fonctions symétriques
s2=u*v+v*w+w*u;
s3=u*v*w;

s1B=s2/s3;         % Conjugués
s2B=s1/s3;
s3B=1/s3;

%-----------------------------------------------------------------------

a=2*v*w/(v+w); % Sommets ABC du triangle 
b=2*w*u/(w+u); % ja = b*c/u et p.c.
c=2*u*v/(u+v);

aB=2*vB*wB/(vB+wB); % Conjugués
bB=2*wB*uB/(wB+uB);
cB=2*uB*vB/(uB+vB);

%-----------------------------------------------------------------------

% Centre O et rayon R du rayon du cercle circonscrit au triangle ABC

o=2*s1*s3/(s1*s2-s3);
oB=2*s1B*s3B/(s1B*s2B-s3B);
R=2/(1-s1*s1B);

%-----------------------------------------------------------------------

syms t real

p=b+t*(c-b); % Un point P quelconque de (BC)
pB=bB+t*(cB-bB);

% Centre X(xx) et carré du rayon Rx2 du cercle (X) passant par A 
% et tangent en P à (BC)

[pmedap qmedap rmedap]=Mediatrice(a,p,aB,pB); % Médiatrice du segment [AP]
[pperp qperp rperp]=DroitePerpendiculaire(p,b,c,pB,bB,cB); % Perpendiculaire en P à (BC)
[xx xxB]=IntersectionDeuxDroites(pmedap,qmedap,rmedap,pperp,qperp,rperp);

xx=Factor(xx);
xxB=Factor(xxB);
Rx2=Factor((p-xx)*(pB-xxB));

% On trouve xx=Nx/Dx avec:

Nx=-2*u*(u^3*(v^2-w^2)^2*t^2 + 2*u*w^2*(u^2-v^2)*(v^2-w^2)*t - w*(u+v)^2*(u-v)*(u*v*(u+w)-w^2*(v+w))); 
Dx=(u+v)^2*(u+w)^2*(v+w)*(u-v)*(u-w);

% Point E où la droite (AI) recoupe le cercle (O)

e=2*s3/(u^2+s2); eB=2*s3B/(uB^2+s2B);

% Point F où la droite (EP) recoupe le cercle (O)

[pep qep rep]=DroiteDeuxPoints(e,p,eB,pB); % Droite (EP)

syms f

fB=-(pep*f+rep)/qep;
NulF=numden(Factor((f-o)*(fB-oB)-R^2)/(f-e));
CoF=coeffs(NulF,f,'All');

f=Factor(-CoF(2)/CoF(1));

% On trouve:

f=2*s3*(u+v-t*(v-w))/((u+v)*(u+w)*(v-t*(v-w)));
fB=2*s3B*(uB+vB-t*(vB-wB))/((uB+vB)*(uB+wB)*(vB-t*(vB-wB)));

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% Calcul des carrés des cosinus des angles AFI et IPB

AF2=Factor((f-a)*(fB-aB)); % Carrés des longueurs des côtés du triangle AFI
AI2=Factor(a*aB);
FI2=Factor(f*fB);

IP2=Factor(p*pB); % Carrés des longueurs des côtés du triangle IPB
PB2=Factor((b-p)*(bB-pB));
IB2=Factor(b*bB);

% Carrés des cosinus des deux angles

CosAFI2=Factor((AF2+FI2-AI2)^2/(4*AF2*FI2));
CosIPB2=Factor((IP2+PB2-IB2)^2/(4*IP2*PB2));

NulCos=Factor(CosAFI2-CosIPB2) % Égal à 0, donc c'est gagné