Inégalité sur fonction dérivable

André49
André49
Modifié (November 2021) dans Analyse
Bonjour
On considère $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, fonction de classe $C^1$ qui s’annule en $0$ et qui vérifie
$$\forall x \geqq 0,\qquad f^{'}(x) \leqq af(x)+b ,\qquad [a > 0, b \geqslant 0]. $$
On cherche à démontrer que
$$\forall x \geqq 0,\qquad  f(x) \leqq {b \frac{e^{ax}-1}{a}} \qquad\text{et}\qquad f^{'}(x) \leqq be^{ax}.$$
 Pourriez-vous m'aiguiller sur la démonstration SVP ? Je ne vois pas comment commencer...
Merci.

Réponses

  • Foys
    Foys
    Etudier la fonction $x\mapsto e^{-ax}f(x)$. Ce résultat s'appelle le "lemme de Gronwall" et entraîne l'unicité des solutions d'une équation différentielle (sous les hypothèses du théorème de Cauchy-Lipschitz).
    Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
  • Poirot
    Poirot
    Autre idée : poser $g = f'-af$, résoudre l'équation différentielle pour exprimer $f$ en fonction de $g$ et utiliser l'inégalité $g(x) \leq b$.
  • bd2017
    bd2017
    Modifié (November 2021)
    Bonjour
    Tout bêtement (pour une solution utilisant des moyens élémentaires),  tu peux  étudier les variations de   $g(x)= \big(b + a  f(x) \big) /\exp(a x)$
    (l'inégalité à démontrer étant équivalente à montrer que $g(x)\leq g(0)=b$.)
     
  • André49
    André49
    Merci. Ca marche...
  • MrJ
    MrJ
    Modifié (November 2021)
    Ne peut-on pas limiter les hypothèses sur les constantes à $a> 0$ ?

    Je n’ai pas l’impression que l’on utilise que $b$ soit positif dans la démonstration, mais je me demande si je ne loupe pas quelque chose, car dans les différentes versions du lemme de Grönwall que je trouve sur internet, on exige toujours que les toutes fonctions en jeux soient positives…
  • JLapin
    JLapin
    Effectivement, toutes les positivités ne sont pas utiles.
  • Foys
    Foys
    Modifié (November 2021)
    On peut se ramener au cas positif par l'astuce suivante: soit $g$ $C^1$ sur $\R$ telle que $g(0)=0$  et pour tout $x\geq 0$, $|g'(x)| \leq a|g(x)|+b$.
    Posons $f(x):= \int_0^x |g'(t)| dt$. Alors pour tout $x\geq 0$, $f(x) \geq |\int_0^x g'(t)dt| = |g(x)|$. Donc $f'(x) = |g'(x)|\leq a|g(x)|+b \leq af(x) +b$ pour tout $x\geq 0$.
    La conclusion de l'exo du fil s'applique pour en déduire les inégalités $|g (x)| \leq b\frac {e^{ax} -1}{a}$ et $|g'(x)| \leq be^{ax}$, valables pour tout $x\geq 0$.
    Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
  • MrJ
    MrJ
    Merci pour vos réponses!
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