Radical et rayon de primalité faible
Bonjour,
Rappelons que le radical d'un nombre entier $n$ est le plus grand entier sans facteur carré $rad(n)$ divisant $n$.
J'appelle rayon de primalité faible de $n$ tout entier positif $w$ tel que $\omega(n-w)=\omega(n+w)=1$ où $\omega$ compte le nombre de facteurs premiers sans tenir compte de la multiplicité.
Considérons la fonction $R_{n}(x)$ donnant le nombre d'entiers n'excédant pas $x$ de même radical que $n$. Peut-on donner un majorant optimal de cette fonction inconditionnellement ou sous l'hypothèse de Riemann voire sa généralisation aux fonctions L de Dirichlet? Peut-on en déduire un majorant du nombre $w_{0}(n):=\inf\{w\geq 0\mid\omega(n-w)=\omega(n+w)=1\}$ ?
Edit : on a $w_{0}(n)\leq r_{0}(n)$ avec $r_{0}(n):=\inf\{r\geq 0\mid (n-r,n+r)\in\mathbb{P}^{2}\}$ sous la conjecture de Goldbach. J'appelle nombre exceptionnel de Galois tout entier $n$ tel que $w_{0}(n)<r_{0}(n)$ et note $Ge(x)$ le nombre de nombres exceptionnels de Galois n'excédant pas $x$. Je serais intéressé par une majoration, inconditionnelle ou non, de $Ge(x)$ en fonction de $x$.
Merci d'avance.
Rappelons que le radical d'un nombre entier $n$ est le plus grand entier sans facteur carré $rad(n)$ divisant $n$.
J'appelle rayon de primalité faible de $n$ tout entier positif $w$ tel que $\omega(n-w)=\omega(n+w)=1$ où $\omega$ compte le nombre de facteurs premiers sans tenir compte de la multiplicité.
Considérons la fonction $R_{n}(x)$ donnant le nombre d'entiers n'excédant pas $x$ de même radical que $n$. Peut-on donner un majorant optimal de cette fonction inconditionnellement ou sous l'hypothèse de Riemann voire sa généralisation aux fonctions L de Dirichlet? Peut-on en déduire un majorant du nombre $w_{0}(n):=\inf\{w\geq 0\mid\omega(n-w)=\omega(n+w)=1\}$ ?
Edit : on a $w_{0}(n)\leq r_{0}(n)$ avec $r_{0}(n):=\inf\{r\geq 0\mid (n-r,n+r)\in\mathbb{P}^{2}\}$ sous la conjecture de Goldbach. J'appelle nombre exceptionnel de Galois tout entier $n$ tel que $w_{0}(n)<r_{0}(n)$ et note $Ge(x)$ le nombre de nombres exceptionnels de Galois n'excédant pas $x$. Je serais intéressé par une majoration, inconditionnelle ou non, de $Ge(x)$ en fonction de $x$.
Merci d'avance.
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Réponses
Histoire d'alléger et de rendre plus cohérente la terminologie, je propose de renommer "nombres G-exceptionnels", G signifiant à la fois Goldbach et Galois, les nombres d'abord appelés "nombres exceptionnels de Galois*".
* le lien avec ce cher Evariste tenant au fait que les nombres n'ayant qu'un facteur premier sans tenir compte de la multiplicité sont exactement les cardinaux de corps finis, autrefois dénommés "champs de Galois" (d'où probablement l'anglais "field" pour désigner un corps).
Si besoin, je donnerai une traduction.